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Charakteristik (Mathematik)

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Die Charakteristik ist in der Algebra eine Kennzahl eines Ringes oder Körpers. Sie gibt an, wie oft man die im Ring bzw. Körper enthaltene Zahl 1 aufaddieren muss, um als Ergebnis 0 zu erhalten. Davon zu unterscheiden ist der mathematische Begriff Charakter. Nicht zu verwechseln ist die Charakteristik im algebraischen Sinne mit dem Begriff der Charakteristik aus der Numerik; dort bezeichnen Charakteristiken Lösungen gewisser Differentialgleichungen (siehe Methode der Charakteristiken).

Inhaltsverzeichnis

Definition

Die Charakteristik eines unitären Ringes R ist die kleinste natürliche Zahl n\geq 1, für die in der Arithmetik des Ringes die n-fache Summe des Einselementes 1 gleich dem Nullelement wird, also

\begin{matrix}\underbrace{1+1+\ldots+1}&=&0\\n\ \mathrm{mal} \end{matrix}

Ist jede endliche Summe von Einsen ungleich Null (wie das zum Beispiel bei den reellen Zahlen der Fall ist), dann wird dem Ring definitionsgemäß die Charakteristik 0 zugeordnet.

Eine übliche Abkürzung der Charakteristik von R ist char(R).

Alternative Definitionsmöglichkeiten sind:

  • Die Charakteristik des unitären Rings R ist der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kerns des kanonischen unitären Ringhomomorphismus \mathbb Z\to R.
  • Die Charakteristik des unitären Rings R ist die eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahl n, für die R einen unitären Teilring enthält, der isomorph zum Restklassenring \Z/n\Z ist. (Beachte, dass \Z/0\Z=\Z ist.)

Bemerkung

Obige Definitionen erklären insbesondere auch die Charakteristik von Körpern, denn jeder Körper ist ein unitärer Ring.

Eigenschaften

Bei Ringen

Jeder unitäre Teilring S eines unitären Rings R hat dieselbe Charakteristik wie R.

Gibt es einen Ringhomomorphismus R\to S zwischen zwei unitären Ringen R und S, so ist die Charakteristik von S ein Teiler der Charakteristik von R.

Für jeden Integritätsring (und insbesondere jeden Körper) ist die Charakteristik entweder 0 oder eine Primzahl. Im letzteren Fall spricht man auch von positiver Charakteristik.

Ist R ein unitärer Ring mit Primzahlcharakteristik p, dann gilt (x + y)p = xp + yp für alle x,y\in R. Die Abbildung f:R\to R,\;x\mapsto x^p ist dann ein Ringhomomorphismus und wird Frobenius-Homomorphismus genannt.

Beispiele

Der Restklassenring \Z/n\Z hat die Charakteristik n.

Da die komplexen Zahlen die rationalen enthalten, ist auch ihre Charakteristik 0.

Für ein irreduzibles Polynom g vom Grad n über dem Restklassenkörper \Bbb F_p ist der Faktorring \Bbb F_p[X]/(g) ein Körper (der isomorph ist zum endlichen Körper \Bbb F_{p^n}), der \Bbb F_p enthält und demnach die Charakteristik p hat.

Bei Körpern

Jeder geordnete Körper hat die Charakteristik 0; Beispiele sind die rationalen Zahlen oder die reellen Zahlen.

Jeder Körper der Charakteristik 0 ist unendlich; er enthält nämlich einen Primkörper, der isomorph zum Körper der rationalen Zahlen ist.


Beispiele

Es gibt unendliche Körper mit Primzahlcharakteristik; Beispiele sind der Körper der rationalen Funktionen über \Bbb F_p oder der algebraische Abschluss von \Bbb F_p.

Die Mächtigkeit eines endlichen Körpers der Charakteristik p ist eine Potenz von p. Denn in diesem Fall enthält er den Teilkörper \Bbb F_p und ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über diesem Teilkörper. Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass die Ordnung des Vektorraums dann eine Potenz von p ist.

Daraus folgt, dass jeder endliche Vektorraum als Mächtigkeit eine Primzahlpotenz hat, da dieser dann ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper sein muss (und (pn)m ist selbst eine p-Potenz).

Wikipedia
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