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Cepstrum
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Das Cepstrum wurde 1963 in einem Artikel von Bogert, Healy und Tukey als eine neue Transformation eines Signals in die Nachrichtentechnik eingeführt. In jenem Artikel wird das Cepstrum eines Signals informell als das Spektrum des logarithmierten Fourierspektrums dieses Signals festgelegt. Die Bezeichnung Cepstrum leitet sich aus dem Begriff Spectrum durch Vertauschen von Buchstaben am Wortanfang ab.
Das Cepstrum ist eine Funktion der sogenannten „Quefrenz“ (engl. „Quefrency“, entstanden aus dem Wort „Frequency“): das Spektrum eines zeitabhängigen Signals ist eine Funktion der Frequenz; das Spektrum eines frequenzabhängigen Signals ist eine Funktion einer Variablen, für welche im Originalartikel ad hoc der Begriff Quefrency eingeführt wurde. Die Dimension der Quefrenz ist identisch mit der Dimension der unabhängigen Variablen des betrachteten Signals; für ein zeitabhängiges Signal hat die Quefrenz also die Dimension Zeit.
Exakt formuliert ist das Cepstrum die inverse Fourier-Transformierte des logarithmierten, durch Division mit einer Bezugsgröße G0 dimensionslos gemachten, einseitigen Autoleistungsspektrums; so gilt z. B. für Cxx(τ), das Cepstrum für das Zeitsignal x(t):
Der Vorteil der Cepstrumfunktion gegenüber der Autokorrelationsfunktion, die auf ähnliche Weise berechnet werden kann, liegt in der Logarithmierung im Frequenzbereich begründet. Hierdurch gehen Multiplikationen (z. B. eines Spektrums mit einem Frequenzgang) in Additionen über. Dies bleibt wegen des linearen Charakters der (inversen) Fouriertransformation auch im Cepstrum gültig. Hierdurch sind harmonische Anteile im Signal deutlich zu erkennen, auch wenn sie nur relativ kleine Amplituden aufweisen. Die Cepstrumanalyse eignet sich daher besonders zur Trennung der Auswirkungen von Quelle und Übertragungseigenschaften, so z. B. zum Auffinden von Echos und eventuell zur Unterdrückung der Echoauswirkungen durch Fensterung (als Ableitung von „Filtering“ mit „Liftering“ bezeichnet) des Cepstrums im nicht vom Echosignal beeinflussten Bereich. Durch „Liftering“ können auch harmonische Anteile in einem Signal von den übrigen Anteilen getrennt werden, was z. B. in der Sprachanalyse und bei der Schadensfrüherkennung an Maschinen Anwendung findet. Im letzteren Fall wird der Umstand ausgenutzt, dass sich Schäden an Maschinen mit umlaufenden Bauteilen häufig durch einen Anstieg der harmonischen Komponenten im Luft- oder Körperschall andeuten.
Siehe auch
Literatur
B. P. Bogert, M. J. R. Healy und J. W. Tukey: The Quefrency Alanysis of Time Series for Echoes: Cepstrum, Pseudo-Autocovariance, Cross-Cepstrum, and Saphe Cracking. Proceedings of the Symposium on Time Series Analysis (Hrsg.: M. Rosenblatt), Kapitel 15, S. 209-243. New York: Wiley, 1963
Holland, K. R.: The Use of Cepstral Analysis in the Interpretation of Loudspeaker Frequency Response Measurements. Proceedings of the Institute of Acoustics, Vol. 15, Part 7, 1993, S. 65-71
S. Wendt, G. A. Fink, und F. Kummert: Vorwärtsmaskierung für cepstrum-basierte Spracherkennungssysteme. In W. Hess und K. Stöber (Hrsg.): Elektronische Sprachsignalverarbeitung, Band 22, Studientexte zur Sprachkommunikation, S. 85-91, Bonn: 2001
A.V. Oppenheim und R.W. Schafer: From Frequency to Quefrency: A History of the Cepstrum. IEEE Signal Processing Magazine, Vol. 21, Issue 5, Sept. 2004, S. 95-106
Weblinks
Anwendung auf Echos: http://www.libinst.com/cepst.htm
Grundlagen: http://cnx.rice.edu/content/m12469/latest/
Schadensfrüherkennung: http://www.dliengineering.com/downloads/Automated%20Rolling%20Contact%20Bearing.pdf
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