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Anfangswertproblem

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(Weitergeleitet von Cauchyproblem)

Als Anfangswertproblem (AWP) (oder manchmal auch als Anfangswertaufgabe (AWA) oder Cauchy-Problem) bezeichnet man in der Mathematik Problemstellungen, in denen aus vorgegebenen Anfangsdaten $y 0$ , dem Anfangswert, zu einem Zeitpunkt $t 0$ und einer Differentialgleichung für $y(t)\!$ Funktionswerte für beliebige $t$ berechnet werden sollen.

$y'(t) = f(t, y(t)),\quad y(t_0) = y_0\!$ heißt Anfangswertproblem 1. Ordnung.

Allgemeine Definition

Seien $k\in\mathbb{N},~D\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n\times k},~(x_0,y_0,y_1,\ldots,y_{k-1})\in D,~f:D\rightarrow\mathbb{R}^n$

$\begin{cases} y^{(k)}=f(x,y(x),y'(x),\ldots,y^{(k-1)}(x))& \\ y(x_0)=y_0,~\ldots,~ y^{(k-1)}(x_0)=y_{k-1}& \end{cases}\qquad$ heißt Anfangswertproblem $k$ -ter Ordnung

Jedes Anfangswertproblem $k$ -ter Ordnung ( $k \ge 2$ ) lässt sich umschreiben in ein Anfangswertproblem 1. Ordnung.