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Carleman-Ungleichung

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Die Carleman-Ungleichung, benannt nach dem schwedischen Mathematiker Tage Gills Torsten Carleman, ist eine elementare Ungleichung der Analysis. Sie besagt, dass eine Reihe geometrischer Mittel einer Folge $(a k) k$ durch ein konstantes Vielfaches der Reihe $\sum a_k$ von oben beschränkt ist. Genauer besagt sie, dass die eulersche Zahl $e$ die kleinste Konstante ist, die als Vielfaches diese Schranke erfüllt.

Die Carleman-Ungleichung wurde erstmals 1923 von Torsten Carleman publiziert.

Satz

Sei $(a_k)_k = (a_1, a_2, a_3, \ldots )$ eine Folge reeller, nicht-negativer Zahlen. Bezeichne $e$ die eulersche Zahl $e \approx 2,71828\ldots$ . Dann gilt:

$\sum_{k=1}^\infty \sqrt[k]{(a_1 a_2 \ldots a_k)} \leq e \cdot \sum_{k=1}^\infty a_k ~ \,$ .

Dabei ist $e$ die kleinste Zahl, die diese Aussage erfüllt.

Beweis

Wegen $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ ist $\sum_{n=k}^\infty \frac{1}{n(n+1)} =\frac{1}{k} \quad$ (Teleskopsumme)

und aus $\frac{1}{e^n}<\prod_{k=1}^n \left(\frac{k}{k+1}\right)^k=\prod_{k=1}^n \frac{(k+1) k^k}{(k+1)^{k+1}} =\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}=\frac{n!}{(n+1)^n}$ folgt $\frac{1}{e}<\frac{\sqrt[n]{n!}}{n+1}$

$\sum_{k=1}^\infty a_k=\sum_{k=1}^\infty \sum_{n=k}^\infty \frac{1}{n(n+1)} k\, a_k =\sum_{1\le k\le n}\frac{1}{n(n+1)} k\, a_k=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1}\; \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n k\, a_k$ und das ist nach der AM-GM-Ungleichung

$\ge \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n (k\,a_k)} =\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt[n]{n!}}{n+1} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n a_k}\ge\frac{1}{e} \sum_{n=1}^\infty \sqrt[n]{a_1\cdots a_n} \qquad \Box$