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C*-Algebra

Aus Kefk.

In der Funktionalanalysis sind C*-Algebren eine Abstraktion der beschränkten linearen Operatoren auf einem Hilbertraum.

Zunächst trennte man den abstrakten Begriff und die konkreten Realisierungen von Norm-abgeschlossenen *-Unteralgebren und nannte sie B*-Algebren bzw. C*-Algebren. Das C sollte auf die Abgeschlossenheit (closed) hinweisen. Es stellte sich jedoch heraus, dass die Trennung der beiden Begriffe nicht notwendig war, und man nutzte nur noch den Begriff C*-Algebra.

Heute wird die Theorie der C*-Algebren auch als nichtkommutative Topologie angesehen.

Definition und Eigenschaften

Eine C*-Algebra $A$ ist eine involutive Banachalgebra, die zusätzlich das C*-Axiom erfüllt:

$\|a^*a\|=\|a\|^2$ .

Mit "involutiv" ist die Existenz einer Involution gemeint, d.h. einer Abbildung

${*}\colon A\to A,\quad a\mapsto a^*$

mit den folgenden Eigenschaften:

$(a + b) * = a * + b *$ und $(\lambda a)^*=\bar\lambda a^*$ (semilinear oder konjugiert linear)
$(a b) * = b * a *$ (multiplikativ)
$(a *) * = a$ (involutiv)
$\|a^*\|=\|a\|$ (isometrisch) für $a,b\in A$ und $\lambda\in\mathbb C$ .

Sind $A$ und $B$ C*-Algebren, dann heißt eine Abbildung $\varphi \colon A\to B$ *-Homomorphismus, falls sie linear, multiplikativ und mit der Involution verträglich ist. Es wird nicht gefordert, dass $φ$ stetig sein muss.

Jeder *-Homomorphismus $\varphi$ ist kontrahierend, also insbesondere stetig. Kontrahierend bedeutet, dass $\|\varphi(a)\| \leq \|a\|$ für beliebiges $a \in A$ gilt.

Beispiele

Das motivierende Beispiel für den Begriff der C*-Algebren ist die Algebra $L (H)$ der linearen Operatoren auf einem Hilbertraum $H$ mit der Bildung des adjungierten Operators als Involution.

Auch jede *-Unteralgebra von $L (H)$ , die in der Normtopologie abgeschlossen ist, ist eine C*-Algebra.

Man kann sogar zeigen, dass jede C*-Algebra isometrisch *-isomorph zu einer *-Unteralgebra von $L (H)$ für einen geeigneten Hilbertraum $H$ ist (Satz von Gelfand und Naimark).

X sei ein lokalkompakter Hausdorffraum. Dann bilden die komplexwertigen, stetigen und im unendlich verschwindenden Funktionen $C 0 (X)$ eine kommutative C*-Algebra, wobei die Involution durch die Konjugation gegeben wird.

Ein ebenfalls nach Gelfand und Naimark benannter Satz besagt, dass jede kommutative C*-Algebra diese Form hat.

$M_n=L( \mathbb C ^n)$ , $n\in \mathbb N$ Matrizen

$K (H)$ kompakte Operatoren auf einem Hilbertraum

Calkin Algebra

Direkte Summe von C*-Algebren

Direktes Produkt von C*-Algebren

induktiver Limes von C*-Algebren

Tensorprodukt von C*-Algebren

UHF Algebren

AF Algebren

universelle C*-Algebren

Rotationsalgebra

Cuntzalgebra

Cuntz-Krieger-Algebra

Toeplitz-Algebra

Gruppen C*-Algebra

Von-Neumann-Algebren sind stark abgeschlossene *-Unteralgebren von L(H) (H Hilbertraum). Da die starke Operatortopologie schwächer ist als die Normtopologie, sind die von-Neumann-Algebren auch in der Normtopologie abgeschlossen. Also sind sie insbesondere C*-Algebren.

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Kategorie: Funktionalanalysis