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Brownsche Bewegung

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(Weitergeleitet von Brownsche Molekularbewegung)

Dieser Artikel befasst sich mit dem naturwissenschaftlichen Phänomen der brownschen Bewegung. Das mathematische Modell gleichen Namens wird unter Wiener-Prozess beschrieben.

Bild:BrownBew2dim.png

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Als brownsche Bewegung (bzw. Brown'sche Bewegung) wird die vom schottischen Botaniker Robert Brown im Jahr 1827 wiederentdeckte, thermisch getriebene Eigenbewegung von Teilchen bezeichnet. Dabei beschreibt jedes Atom oder Molekül bei Temperaturen über 0 K eine Bewegung. Weniger bekannt ist, dass bereits 1785 Jan Ingenhousz die Bewegung von Holzkohlestaub auf Alkohol beschrieb.

Brown beobachtete unter dem Mikroskop, wie Pollen in einem Wassertropfen unregelmäßig zuckende Bewegungen machten.

Bild:Video.svg Brownsche Bewegung lässt Fetttröpfchen in Milch tanzen. ^?/i

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Die Erklärung dafür liefern die Moleküle des Wassertropfens, die permanent von allen Seiten gegen die größeren, sichtbaren Pollenteilchen stoßen, wie die Physiker Albert Einstein und Marian von Smoluchowski unabhängig voneinander im Jahr 1905 zeigten.

Verwendet man den Wiener-Prozess als mathematisches Modell für die Bewegung, so kann man σ² als mittlere quadratische Verschiebung eines Teilchens pro Zeiteinheit verstehen und experimentell schätzen. Einstein konnte 1905 zeigen, dass $\sigma^2 = \frac{R T}{L 3 r \pi \eta}$ gilt, wobei R die universelle Gaskonstante, T die absolute Temperatur, L die loschmidtsche Zahl, r der Radius eines brownschen Teilchens und η die Zähigkeit (innere Reibung) der Flüssigkeit bzw. des Gases ist. So lässt sich die Boltzmannkonstante $k_{\rm B} = \frac{R}{L}$ experimentell bestimmen. U. a. hierfür erhielt Jean Baptiste Perrin 1926 den Nobelpreis für Physik.

Diffusion, Osmose und auch die Lichtmühle basieren auf dieser Bewegung der Teilchen.

Ursprünglich nahm Brown an, dass dies ein Hinweis auf die Lebenskraft sei, die lange Zeit von Wissenschaftlern als existent vermutet wurde, siehe organische Chemie. Aber den Effekt konnte er schließlich auch an eindeutig unbelebten Staubkörnern beobachten.

Ein durchschnittlich großes Kolloid stößt pro Sekunde etwa 10²¹-mal mit einem Lösungsmittelmolekül zusammen. Dadurch erfährt es jedesmal eine Kraft, was zu einer zufälligen Bewegung, einem sogenannten Random Walk führt. Ohne äußere Einflüsse ist die Wahrscheinlichkeit einer Bewegungsänderung in jede Richtung gleich groß. Daher erhält man bei längerer Betrachtung für die Summe der Richtungsänderung Null.

Mathematisches Modell

In der Mathematik ist eine brownsche Bewegung $B = (B_t)_{t \in [0,\infty]}$ ein zentrierter Gauß-Prozess mit Kovarianzfunktion $\mathrm{Cov}(B_t,B_s) = \mathop{\rm min}(t,s)$ für alle $t,s \geq 0$ . Der resultierende stochastische Prozess ist heute zu Ehren von Norbert Wiener, der die wahrscheinlichkeitstheoretische Existenz desselben 1923 bewies, als Wiener-Prozess bekannt. Viele wichtige Details sind im Artikel dort zu finden.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine brownsche Bewegung zu konstruieren:

die abstrakte Konstruktion anhand des Schemas von Kolmogorow, wobei man dann Probleme mit der Pfadstetigkeit bekommt.
die Lévy-Ciesielski-Konstruktion: hierbei wird die brownsche Bewegung mit Hilfe der durch das Haarsystem auf $C ([0,1])$ induzierten Schauderbasis bereits als stochastischer Prozess mit stetigen Pfaden konstruiert.
Seien $Z 0$ , $Z 1$ , … unabhängig, identisch verteilt und standardnormalverteilt $\sim \mathcal{N} (0, 1)$ .