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Bogenmaß

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Das Bogenmaß ist ein Winkelmaß.

Bild:Radian measure-def2.svg
Das Bogenmaß, Definition am Kreissektor: \alpha = b/r\,

Das Bogenmaß eines Winkels α (aufgefasst als Mittelpunktswinkel eines Kreises) ist definiert als das Verhältnis der Länge des Kreisbogens b zum Radius r:

\alpha = \frac{b}{r} \,

Ist der Kreis ein Einheitskreis (Radius r = 1 ), so ist das Bogenmaß gleich der Länge des Kreisbogens b.

Um auf die Verwendung des Bogenmaßes hinzuweisen, kann der Maßzahl die Hilfsmaßeinheit Radiant mit dem Einheitenzeichen „rad“ nachgestellt werden. Dabei ist 1 rad die Größe desjenigen Winkels, der einen Bogen b mit der Länge des Radius r ergibt, also b = r. Da das Verhältnis von Kreisumfang zu Radius = 2π. beträgt, beträgt der Vollwinkel (360°) im Bogenmaß 2π rad.

In vielen Berechnungen der Physik und der Mathematik ist das Bogenmaß das zweckmäßigste Winkelmaß. Für den Alltagsgebrauch ist es unpraktisch, da Werte im Bogenmaß unanschauliche irrationale Zahlen sind. Daher wird dort stattdessen das Gradmaß verwendet.

Für die Umrechnung vom Bogenmaß ins Gradmaß siehe Umrechnung zwischen Radiant und Grad

Veraltet ist für das Bogenmaß die Schreibweise α̑ = arc(α) oder arcus α üblich 

Hinweis: Die Angaben Bogenminute und Bogensekunde beziehen sich nicht auf das Bogenmaß, sondern sind Teile der Einheit Grad.

Inhaltsverzeichnis

Das Bogenmaß in der Physik

In der Physik tritt das Bogenmaß beispielsweise bei der Berechnung der Zentripetalkraft auf. Die Zentripetalkraft beträgt

F_Z=m \omega^2r \,

und die Zentripetalbeschleunigung

a_Z=\omega^2 r \, ,

wobei \omega = 2\pi n\; die Winkelgeschwindigkeit in rad/s bei der Drehzahl n ist. In dieser Formel ist das Bogenmaß die zweckmäßigste Winkeleinheit für die Winkelgeschwindigkeit; würde man \omega\; anstelle im Bogenmaß beispielsweise in Grad pro Sekunde angeben, so würde die Formel

a_Z=\left(\frac{2\pi}{360^\circ}\right)^2\omega^2 r \,

lauten; es wären dann also zusätzliche Umrechnungsfaktoren zu berücksichtigen.

Das Bogenmaß in der Mathematik

Winkelfunktionen

In der Mathematik tritt das Bogenmaß insbesondere bei den Winkelfunktionen Sinus und Kosinus auf. Für die Ableitungen dieser Funktionen gilt

\sin^\prime x = \frac{2\pi}{c}\cos x \, ,
\cos^\prime x = -\frac{2\pi}{c}\sin x \, ,

wobei die Konstante c\; das Winkelmaß des vollen Kreises, also 360° im Gradmaß oder 400 gon im Gonmaß ist. Misst man im Bogenmaß, so ist c=2\pi\;, der Faktor ist 1, und die Formeln vereinfachen sich zu

\sin^\prime x = \cos x \,
\cos^\prime x = -\sin x \, .

Aus diesem Grund wird in der Differentialrechnung der Winkel ausschließlich im Bogenmaß gemessen.

Siehe auch

Wikipedia
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