Bode-Diagramm

Aus Kefk

Das Bode-Diagramm (nach Hendrik Wade Bode) ist ein spezieller Funktionsgraph und besteht aus einem Graph für den Betrag (die Amplitudenverstärkung) und einem für das Argument (die Phasenverschiebung) einer komplexen Übertragungsfunktion.

Bode-Diagramme finden ihre Anwendung bei der Darstellung linearer zeitinvarianter (LZI, engl. LTI) Systeme im Bereich der Elektronik/Elektrotechnik, Regelungstechnik und Mechatronik.

Ein Bode-Diagramm beschreibt die stationäre Reaktion an einem Ausgang eines Systems auf eine harmonische Anregung ("Sinusschwingung") an einem Eingang des Systems. Zur vollständigen Beschreibung eines LZI-Systems mit l Eingängen und m Ausgängen benötigt man also l mal m Diagramme.

Bild:Bode bsp.png

Beispiel eines Bodediagramms

Inhaltsverzeichnis

1 Einordnung
2 Charakteristische Eigenschaften
3 Veranschaulichung der Vorteile einer logarithmischen Darstellung
4 Siehe auch
5 Weblinks

Einordnung

Das Bode-Diagramm dient der Darstellung des Übertragungsverhaltens eines dynamischen Systems, auch Frequenzantwort oder Frequenzgang genannt. Andere Diagrammformen zur Beschreibung dynamischer Systeme, wie z. B. das Nyquist-Diagramm (Frequenzgang-Ortskurve, engl. nyquist plot) oder das Pol-Nullstellen-Diagramm (engl. pole-zero map), dienen dagegen anderen Zwecken, die beiden genannten etwa der Stabilitätsbetrachtung. Das Bode-Diagramm wird, wie auch die anderen Diagramme, aus mathematischen Systembeschreibungen durch Differentialgleichungen hergeleitet und berechnet.

Charakteristische Eigenschaften

Auf den x-Achsen (Abszisse) wird die Frequenz resp. Kreisfrequenz logarithmisch dargestellt. Dadurch ist auf einen Blick das Verhalten über einen großen Frequenzbereich ersichtlich.
Auf der y-Achse (Ordinate) des ersten Graphen wird die Verstärkung der Amplitude, also der komplexe Betrag der Übertragungsfunktion in Dezibel - und damit ebenfalls logarithmisch - dargestellt. Dieser Graph heißt Amplitudengang.
Auf der y-Achse des zweiten Graphen wird die Phasenverschiebung, also das komplexe Argument der Übertragungsfunktion linear aufgetragen. Dieser Graph heißt Phasengang.

Amplituden- und Phasengang werden übereinander aufgetragen, so dass Verstärkung und Phase einer Frequenz vertikal übereinander stehen.

Bodediagramme haben den Vorteil, dass durch Faktorisieren der Übertragungsfunktion in Erst- und Zweitordnungssystemen der Form einfach als Addition der einzelnen Bodediagramme aufgezeichnet werden können. Hierbei handelt es sich um eine Eigenschaft der Logarithmusfunktion, welche hier benutzt wird, um den Betrag in dB zu erhalten.

Übertragungsfunktion	Amplitudengang	Phasengang
$K$	$20 \cdot \log{\|A\|}$	Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\text): 0 \text{ falls } A \geq 0, \pi \text{ falls } A < 0
$\frac{s}{\omega_0}$	+20 dB/Dekade, 0 dB bei $ω 0$	konstant bei $+\frac{\pi}{2}$
$-\frac{s}{\omega_0}$	+20 dB/Dekade, 0 dB bei $ω 0$	konstant bei $-\frac{\pi}{2}$
$\frac{\omega_0}{s}$	-20 dB/Dekade, 0 dB bei $ω 0$	konstant bei $-\frac{\pi}{2}$
$-\frac{\omega_0}{s}$	-20 dB/Dekade, 0 dB bei $ω 0$	konstant bei $+\frac{\pi}{2}$
$1 + \frac{s}{\omega_0}$	Knick bei $ω 0$ , dann +20 dB/Dekade	$+\frac{\pi}{2}$ über zwei Dekaden
$\frac{1}{1 + \frac{s}{\omega_0}}$	Knick bei $ω 0$ , dann -20 dB/Dekade	$-\frac{\pi}{2}$ über zwei Dekaden
$\frac{1}{1 + 2d\frac{s}{\omega_0} + \frac{s^2}{\omega_0^2}}$	Knick bei $ω 0$ , dann -40 dB/Dekade	$-\frac{\pi}{2}$ über zwei Dekaden mit einer Stauchung je nach d

Das Bode-Diagramm zweier in Reihe geschalteter Systeme ist also die Summe der Bode-Diagramme der Einzelsysteme, wobei der Amplitudengang wie er dargestellt wird, in Dezibel, zu summieren ist. Dieses ist möglich, da der Betrag logarithmisch aufgetragen wird, das Produkt der einzelnen Teil-Übertragungsfunktionen geht also in die Summe ihrer Logarithmen über (vgl. Logarithmengesetze). Die Phasen addieren sich ebenfalls (vgl. Rechenregeln für komplexe Zahlen).

Veranschaulichung der Vorteile einer logarithmischen Darstellung

Bild:TP100Hz linear.png

Beispiel eines Amplitudenverlaufs eines Tiefpasses

Bild:TP100Hz doppel log.png

Beispiel eines Amplitudenverlaufs eines Tiefpasses

Bild:TP100Hz Phase log.png

Beispiel eines Phasengangs eines Tiefpasses

Ein einfacher Tiefpass, hier aufgebaut aus einem Energiespeicher und einem Energie umsetzenden Bauteil, bilden ein sog. PT₁-System.

$F(s) = K \frac{1}{1 + T_1 s}$

Hier wurde ein Widerstand R und ein Kondensator C verwendet. K ergibt sich aus dem Verhältnis Ausgangsgröße zu Eingangsgröße bei kleiner Frequenz. Hier ist K=1, da der komplexe Widerstand (Impedanz) des Kondensators bei beliebig kleiner Frequenz vernachlässigt werden kann (beliebig groß wird). Wird die Eckfrequenz f_E von hier 100 Hz erreicht, ist die Impedanz von C gleich dem Widerstand von R.

$R^2 = \frac{1}{(2 \pi f_E C)^2} = -\frac{1}{(j \omega_E C)^2}$

$\rightarrow \omega_E = \frac{1}{RC} = \frac{1}{T_1}$

$F(s = \omega_E) = \frac{1}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{1}{2} \sqrt{2} = -3\,dB \approx 0{,}707$

$\varphi(s = \omega_E) = \arctan{\frac{1}{\omega_E R C}} = \arctan{(1)} = 45^\circ$

Die formelmäßig bestimmten Werte der Eckfrequenz lassen sich aus diesem Diagramm noch relativ leicht heraus lesen. Jedoch spätestens bei komplexeren Systemen ist es sinnvoller im doppelt logarithmischen Bode-Diagramm zu arbeiten.

Im Bode-Diagramm kann der Funktionsverlauf auch idealisiert mit Geradenstücken dargestellen werden. Hier im Beispiel sind sie um +3 dB angehobenen um besser unterscheidbar zu sein. Am Schnittpunkt der horizontalen mit der abfallenden Gerade liegt die Eckfrequenz. Die reale Funktion ist hier bereits um -3 dB abgefallen. Wenn ein horizontaler Geradenabschnitt existiert, ist der Gleichanteil, hier K = 0 dB = 1, an der Y-Achse (s sehr klein) abzulesen.

Anhand der Steigung und dem Phasenverlauf kann man ein System identifizieren. Bei einem PT₁-Systemen ist oberhalb f_E die Steigung -1:1. Eine Verdopplung der Frequenz führt also zur Halbierung -6 dB der Amplitude, entsprechend Verzehnfachung der Frequenz führt zu -20 dB. Die Phase bei f_E ist -45° und für $f \rightarrow \infty$ ist sie -90°.

Sind zwei PT₁-Systeme in Reihe geschaltet, so ergibt sich ein PT₂-System mit Dämpfung D>1. Oberhalb der ersten Eckfrequenz ist die Steigung -1:1, nach der zweiten Eckfrequenz -2:1 usw. (siehe oberstes Bode-Diagramm mit Phase) Entsprechend ist die Phase bei den Eckfrequenzen erst -45° und dann -135°.

Ein schwingungsfähiges PT₂-System (RLC-Schwingkreis) lässt sich auch mit einem komplexen Pol darstellen D<1. Oberhalb der Eckfrequenz (2 Pole) ist die Steigung -2:1.

$F(s) = K \frac{1}{1 + \frac{s^2}{{\omega_0}^2} + \frac{2 D s}{\omega_0} }$