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Blindwiderstand

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Der Blindwiderstand (oder auch Reaktanz genannt) ist eine Größe der Elektrotechnik, die bei Wechselstrom eine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom verursacht, der Wert des Blindwiderstandes ist frequenzabhängig. Der Zusatz „blind“ rührt daher, dass in Blindwiderständen keine Wirkleistung umgesetzt wird, Energie also nicht unwiderruflich (in Wärme) umgewandelt wird und damit auch nicht verloren geht.

Inhaltsverzeichnis

1 Blindwiderstand in der Komplexen Wechselstromrechnung
2 Induktiver und kapazitiver Blindwiderstand
3 Herleitung (sinusförmige Wechselgrößen)
4 Blindwiderstand eines elektrischen Verbrauchers am Stromnetz
5 Siehe auch

Blindwiderstand in der Komplexen Wechselstromrechnung

Bild:Komplexer Widerstand-Zeigerdiagramm.jpg

Widerstandszeigerdiagramm

Der Blindwiderstand X entspricht dem Imaginärteil des komplexen Widerstandes Z (Impedanz). Der Realteil von Z wird als Wirkwiderstand R bezeichnet. Die geometrische Summe von Wirk- und Blindwiderstand bezeichnet man als Scheinwiderstand Z.

$X = \mathrm{Im}\{\underline Z\} = \mathrm{Im} \left\lbrace \frac{\underline u}{\underline i} \right\rbrace$

$X = Z \sin \varphi = {U \over I} \sin \varphi$

Allgemein gilt:

$\underline Z = \frac{\underline u}{\underline i} = R + jX$

$|\underline Z| = Z = \sqrt {R^2 + X^2}$

Daraus folgt für den Blindwiderstand:

$X = \sqrt {Z^2 - R^2}$

Induktiver und kapazitiver Blindwiderstand

Da ein Kondensator und eine Spule Energiespeicher sind, die sich beim Anlegen einer Spannung aufladen, wird dem System während der Zeit des Aufladens Energie entzogen. Diese Energie kann dem System jedoch bei einer möglichen Entladung wieder zugeführt werden. Das Maß für den Energieentzug ist der Widerstand, wenn der Entzug nicht endgültig ist spricht man von einem Blindwiderstand anderenfalls von einem Wirkwiderstand. Der Entzug und die Zufuhr von Energie wird als Arbeit bezeichnet. Die elektrische Arbeit (Verschiebungsarbeit) ist definiert durch das Produkt von Strom und Spannungsabfall mal der differentiellen Zeit. Der mit dieser Arbeit verbundene Energiefluss hat eine Richtung und kann im Bezug auf die Quelle positiv oder negativ sein, das heisst ein Blindwiderstand kann Energie speichern (aufnehmen) oder diese gespeicherte Energie auch wieder abgeben.

Der Verlauf der Aufladung ist bestimmt durch den Verlauf der Spannung bzw. des Stromes. Die am häufigsten betrachteten Verläufe in der Elektrotechnik sind das sinusförmige Wechselsignal (Wechselstrom). In diesem Fall erfolgt die Auf- und Entladung des Energiespeichers periodisch in Form eines im Bezug zur eingeprägten sinusförmigen Spannungverlauf phasenverschobenen sinusförmigen Stromverlaufes. Bei einem transienten, einmaligen Auflade- bzw. Entladevorgang folgt der Verlauf der aufgenommenen bzw. abgegebenen Energie einer Exponentialfunktion. Ermittelt werden können diese zeitlichen Verläufe im speziellen durch das Lösen der Elementgleichungen für die Blindwiderstände.

Blindwiderstand bei sinusförmigen Signalen

Spule

Für eine ideale Spule mit der Induktivität L gilt:

Die Impedanz einer Spule ist

$\, Z_L = j \omega L = j X_L$ .

Wobei j die imaginäre Einheit ist.

Ihr Blindwiderstand ist der Imaginärteil der Impedanz:

$\, X_L = 2 \pi f L = \omega L$ .

Ihr Blindwiderstand $X L$ nimmt mit wachsender Frequenz f (bzw. wachsender Kreisfrequenz $\, \omega = 2 \pi f$ ) zu.

Kondensator

Für einen idealen Kondensator mit der Kapazität C gilt:

Die Impedanz eines Kondensators ist

$Z_C = \frac{1}{j \omega C} = \frac{-j}{\omega C} = j X_C$ .

Sein Blindwiderstand ist der Imaginärteil der Impedanz:

$X_C = - {1 \over {2 \pi f C}} = - {1 \over {\omega C}}$ .

Der Blindwiderstand $X C$ eines idealen Kondensators mit der Kapazität C wird bei zunehmender Frequenz f kleiner.

Der kapazitive Blindwiderstand ist im Gegensatz zum induktiven Blindwiderstand negativ. Physikalisch ist das umgekehrte Vorzeichen durch die entgegengesetzte Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom bedingt.

Die Einheit des Blindwiderstandes wird - ebenso wie beim Wirkwiderstand - in Ohm ( $Ω$ ) angegeben.

Blindwiderstand bei nicht sinusförmigen Signalen

Bei einem nicht sinusförmigen Verlauf von Spannung oder Strom lässt sich kein eindeutiger Blindwiderstand angeben. Jedes periodische Signal lässt sich durch eine Summe von sinusförmigen Signalen unterschiedlicher Frequenzen darstellen, was die Grundlage der Fourieranalyse darstellt. Diese zusätzlich zur sinusförmigen Grundschwingungen auftretenden Oberschwingungen müssen dabei jede für sich beachtet werden und deren Blindwiderstände ermittelt werden. Das heisst, es lässt sich nicht ein einziger Blindwiderstandswert ausdrücken sondern es ist eine Überlagerung verschiedener Blindwiderstände bei unterschiedlichen Frequenzen und unterschiedlichen Spannungs- bzw. Stromamplituden zu ermitteln.

Dieser Fall tritt beispielsweise bei nichtlinearen Verbrauchern wie es Schaltnetzteilen sind, oder induktiven Bauelementen, welche sich in magnetischer Sättigung befinden, auf.

Blindwiderstand bei zeitlich konstanten Signal

Bei einem zeitlich konstanten Signal bzw. an einer Gleichspannung kann zur Ermittlung der Blindwiderstände direkt obige Beziehungen bei sinusförmigen Verlauf verwendet werden, wobei man die Frequenz $ω$ gegen den Grenzwert von 0 streben lässt. Eine Frequenz von 0 Hz entspricht einem zeitlich konstanten Wert.

Spule

Damit ergibt sich bei Gleichspannung für die Spule der Blindwiderstand zu:

$Z_{L,0} = \lim_{\omega \to 0} j \omega L = 0$

Das heisst, der Blindwiderstand einer Spule an Gleichspannung ist 0 Ohm. Die Spule stellt quasi eine direkte Verbindung (Kurzschluss) dar.

Kondensator

Im Gegensatz dazu ergibt sich der Blindwiderstand eines Kondensators an Gleichspannung zu:

$Z_{C,0} = \lim_{\omega \to 0} \frac{1}{j \omega C} = \infty$

was anschaulich einem "unendlich hohen" Widerstand entspricht. Anschaulich bedeutet dies, dass ein Kondensator im Gleichstromkreis eine Unterbrechung darstellt.

Herleitung (sinusförmige Wechselgrößen)

Kondensator (Kapazität)

Es gilt:

$\mathrm{d}Q = C \cdot \mathrm{d}u$

$\mathrm{d}Q = i \cdot \mathrm{d}t$

Daraus folgt die Formel:

$\mathrm{d}u = \frac {1}{C} \cdot i \cdot \mathrm{d}t$ (kapazitiver Spannungsabfall)

$u(t) = \frac {1}{C} \int i(t) \cdot \mathrm{d}t$

Für sinusförmige Wechselströme ergibt sich:

$\hat u \cdot \sin(\omega t + \varphi_{u})= \frac {1}{C} \int \hat i \cdot \sin(\omega t + \varphi_{i}) \cdot \mathrm{d}t$

Nach Integration folgt:

$\hat u \cdot \sin(\omega t + \varphi_{u})= \frac {\hat i}{C} \cdot \left( -\frac {1}{\omega} \right) \cdot \cos(\omega t + \varphi_{i})$

$\hat u \cdot \sin(\omega t + \varphi_{u})= -\frac {\hat i}{\omega C} \cdot \sin(\omega t + \varphi_{i} + \frac{\pi}{2})$

Nach den Transformationsregeln für harmonische Schwingungen gilt:

$\hat a \cdot \sin(\omega t + \varphi_{a}) = \hat a \cdot \mathrm{e}^{j(\omega t + \varphi_{a})}= \underline a$

Daraus folgt die Umformung:

$\hat u \cdot \mathrm{e}^{j(\omega t + \varphi_{u})}= -\frac {1}{\omega C} \cdot \hat i \cdot \mathrm{e}^{j(\omega t + \varphi_{i} + \frac{\pi}{2})} = -\frac {1}{\omega C} \cdot \hat i \cdot \mathrm{e}^{j(\omega t + \varphi_{i})} \cdot \mathrm{e}^{j (\frac{\pi}{2})}$

Nach ersetzen der komplexen Wechselgrößen folgt:

$\underline u = -\frac {1}{\omega C} \cdot \underline i \cdot \mathrm{e}^{j (\frac{\pi}{2})} = -j\frac {1}{\omega C} \cdot \underline i$

Daraus ergibt sich für die Impedanz:

$\underline {Z_C} = \frac{\underline u }{\underline i } = -j\frac {1}{\omega C}$

$\underline {Z_C} = R + j X_C = 0 + j(-\frac {1}{\omega C})$

Der Blindwiderstand ist nunmehr der Imaginärteil der Impedanz

$X_C = -\frac {1}{\omega C}$

Spule (Induktivität)

Es gilt:

$u = L \cdot \frac{ \mathrm{d} i}{\mathrm{d} t}$ (induktiver Spannungsabfall)

Daraus folgt:

$\mathrm{d}i = \frac {1}{L} \cdot u \cdot \mathrm{d}t$

$i(t) = \frac {1}{L} \int u(t) \cdot \mathrm{d}t$

Nach gleicher Abfolge wie beim Kondensator ergibt sich:

$\underline i = -j\frac {1}{\omega L} \cdot \underline u$

Daraus ergibt sich für die Impedanz:

$\underline {Z_L} = \frac{\underline u }{\underline i } = \frac {\omega L}{-j}= j \omega L$

$\underline {Z_L} = R + j X_L = 0 + j \omega L$

und für den Blindwiderstand:

$X_L = \omega \cdot L$

Schlussfolgerung: Da die Ausgangsformeln für ideale Bauelemente gelten, ist zu erkennen, dass bei der Annahme eines idealen Bauelments kein Wirkwiderstand R auftritt, dass heißt, es wird keine Energie „verbraucht“.

Ohmscher Widerstand

Es gilt:

$u(t) = R \cdot i(t)$

Für sinusförmige Wechselströme ergibt sich:

$\hat u \cdot \sin(\omega t + \varphi_{u})= R \cdot \hat i \cdot \sin(\omega t + \varphi_{i})$

Daraus folgt die Umformung:

$\hat u \cdot \mathrm{e}^{j(\omega t + \varphi_{u})}= R \cdot \hat i \cdot \mathrm{e}^{j(\omega t + \varphi_{i})}$

Nach ersetzen der komplexen Wechselgrößen folgt:

$\underline u = R \cdot \underline i$

Daraus ergibt sich für die Impedanz:

$\underline {Z_R} = \frac{\underline u }{\underline i } = R$

$\underline {Z_R} = R + j X_R = R + j0$

und für den Blindwiderstand:

$\, X_R = 0$

Blindwiderstand eines elektrischen Verbrauchers am Stromnetz

Ein idealer linearer Blindwiderstand verbraucht nur Blindleistung vom Netz, jedoch keine Wirkleistung. Die zum Aufbau elektromagnetischer Felder benötigte elektrische Energie wird wieder an den Erzeuger zurückgegeben.

Blindwiderstände treten allerdings nie alleine auf, da es in der Praxis keine verlustlosen Stromkreise gibt. So sind Blindwiderstände immer mit Wirkwiderständen verknüpft, die tatsächlich Leistung umsetzen.

Überwiegt in einem Verbraucher der induktive Blindwiderstand gegenüber dem kapazitiven, so wird der Verbraucher als ohmsch-induktiv bezeichnet, anderenfalls als ohmsch-kapazitiv.

Beispiel: Die Vorschaltdrossel bei Leuchtstoff- und Gasentladungslampen ist ein induktiver Vorwiderstand (Blindwiderstand) zur Strombegrenzung und verursacht daher gegenüber einem ohmschen Widerstand nur geringe Verluste (ohmsche und magnetische Verluste).

Folgende Verbraucher sind in der Regel ohmsch-induktiv:

Motoren
Transformatoren
Leuchtstoff- und Gasentladungslampen mit konventionellem Vorschaltgerät, wenn nicht kompensiert

Folgende Verbraucher sind in der Regel ohmsch-kapazitiv:

Schaltnetzteile (Computernetzteile)
Frequenzumrichter

Da diese Verbraucher nichtlineare Lasten darstellen, erzeugen sie Oberwellen im Versorgungsnetz.

Siehe auch

elektrischer Widerstand, Blindleistung, Verzerrungsblindleistung, Schwingkreis

Wiktionary: Blindwiderstand – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme und Übersetzungen

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Kategorien: Elektrische Größe | Widerstand (Elektrotechnik) | Wikipedia

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Blindwiderstand in der Komplexen Wechselstromrechnung

Induktiver und kapazitiver Blindwiderstand

Blindwiderstand bei sinusförmigen Signalen

Spule

Kondensator

Blindwiderstand bei nicht sinusförmigen Signalen

Blindwiderstand bei zeitlich konstanten Signal

Spule

Kondensator

Herleitung (sinusförmige Wechselgrößen)

Kondensator (Kapazität)

Spule (Induktivität)

Ohmscher Widerstand

Blindwiderstand eines elektrischen Verbrauchers am Stromnetz

Siehe auch

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