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Binomische Reihe

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Die binomische Reihe ist die im binomischen Lehrsatz

(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^k

auf der rechten Seite stehende Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind die Binomialkoeffizienten, deren Name vom Auftreten im binomischen Lehrsatz abgeleitet wurde.

Ist α ganzzahlig, so bricht die Reihe nach dem Glied k = α ab und besteht dann nur aus einer endlichen Summe. Für nicht ganzzahliges α liefert die binomische Reihe die Taylorreihe von (1 + x)α mit Entwicklungspunkt 0.

Geschichte

Newton entdeckt im Jahre 1669, dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl α und alle reellen x\in ]-1,\,1[ das Binom (1 + x)α darstellt. Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe \alpha, x\in\Bbb C; er bewies den Konvergenzradius 1 für die Reihe, falls \alpha\in\Bbb C\setminus\Bbb N gilt.

Beispiele

(1+x)^2 = {2 \choose 0}x^0 + {2 \choose 1} x^1 + {2 \choose 2} x^2 = 1 + 2x + x^2
(ein Spezialfall der ersten binomischen Formel)
\frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty {-1 \choose k} x^k = \sum_{k=0}^\infty (-x)^k
\sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2} = \sum_{k=0}^\infty {1/2 \choose k} x^k

Siehe auch

Wikipedia
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