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Bild (Mathematik)

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Bei einer mathematischen Funktion f ist das Bild oder die Bildmenge einer beliebigen Teilmenge des Definitionsbereiches dieser Funktion die Menge der Werte aus der Zielmenge, die f auf dieser Teilmenge tatsächlich annimmt.

Insbesondere wird das Bild des gesamten Definitionsbereiches von f, also die Menge aller Werte die f annimmt, auch als Wertemenge bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei f\colon A \to B eine Funktion und M eine Teilmenge von A. Dann bezeichnet man folgende Menge als das Bild von M unter f:

f(M) := \{ f(x) \mid x \in M\}

Das Bild von f ist dann das Bild der Definitionsmenge unter f, also:

\operatorname{im} f := f(A) („im“ vom englischen Wort image)

Die deutsche Bezeichnung \operatorname{Bild}(f) ist ebenfalls gebräuchlich.

Beispiele

Für die Funktion f\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} mit f(x)\ := x^2 gilt:

f(\{ 1, 2, 3 \}) = \{ 1, 4, 9 \}\
f(\{ -3, -2, -1 \}) = \{ 1, 4, 9 \}\
f(\{ -3, -2, -1, 1, 2, 3 \}) = \{ 1, 4, 9 \}\
\operatorname{im} f = \{ 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... \}\

Eigenschaften

Es sei f: A → B eine Funktion und M und N seien Teilmengen von A :

  • f(\varnothing) = \varnothing
  • f(M \cup N) = f(M) \cup f(N)
  • f(M \cap N) \subseteq f(M) \cap f(N)
    Ist f injektiv, dann gilt hier ebenfalls die Gleichheit.
  • M \subseteq N \Rightarrow f(M) \subseteq f(N)
  • f ist genau dann surjektiv, wenn \operatorname{im} f = B.

Die Aussagen über Vereinigung und Durchschnitt lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige Familien von Teilmengen verallgemeinern.

Verallgemeinerung

In der Kategorientheorie ist ein Bild eines Morphismus f: X → Y ein Unterobjekt i: im f → Y von Y, das die folgende universelle Eigenschaft hat:

Ist t: T → Y ein Morphismus aus einem Testobjekt T, so dass t über f faktorisiert, so gibt es genau einen Morphismus c: T → im f mit
t=i\circ c.

Das Kobild eines Morphismus f: X → Y ist der duale Begriff: ein Kobild ist ein Quotientenobjekt p: X → coim f von X, das die folgende universelle Eigenschaft hat:

Ist t: X → T ein Morphismus in ein Testobjekt T, so dass t über f faktorisiert, so gibt es genau einen Morphismus c: coim f → T mit
t=c\circ p.

In abelschen Kategorien wie den Kategorien der Vektorräume oder abelschen Gruppen stimmen Bild und Kobild überein. In den genannten Kategorien sind sie auch gleich dem mengentheoretischen Bild.

Siehe auch

Von „http://www.kefk.org/wiki/Bild_%28Mathematik%29“
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