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Bialgebra
Aus Kefk.
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Eine Bialgebra hat sowohl die Struktur einer unitären, assoziativen Algebra als auch die dazu duale Struktur einer Koalgebra. Der wichtigste Spezialfall von Bialgebren sind Hopf-Algebren zu denen auch die Quantengruppen gehören.
Definition
Sei k ein Körper und B sowohl unitäre assoziative Algebra über k als auch Koalgebra über k. Dabei bezeichne μB die Multiplikation, ηB die Eins (Einbettung des Körpers in die Algebra), ΔB die Komultiplikation und εB die Koeins.
B heißt Bialgebra über k wenn die folgenden äquivalenten Kompatibilitätsbedingungen erfüllt sind.
- Die Komultiplikation ΔB und die Koeins εB sind Algebrahomomorphismen.
- Die Multiplikation μB und die Eins ηB sind Koalgebrahomomorphismen.
- Die folgenden Diagramme kommutieren
Die Bialgebren bilden zusammen mit den Abbildungen, die sowohl Algebra- als auch Koalgebrahomomorphismen sind, eine Kategorie.
Verallgemeinerung
Algebren und Koalgebren können in beliebigen monoidalen Kategorien betrachtet werden. Für Kompatibilitätsbedingungen ist es jedoch notwendig, dass auch das Tensorprodukt einer (Ko)Algebra auf natürliche Weise wieder eine (Ko)Algebra ist, dies bedingt die Existenz einer Zopfung.
Literatur
- Christian Kassel: Quantum Groups (Graduate Texts in Mathematics). Springer-Verlag, ISBN 0-387-94370-6
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