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In der numerischen Mathematik ist die Bézierkurve eine parametrisch modellierte Kurve. Anfang der 1960er Jahre wurde die Bézierkurve unabhängig voneinander von Pierre Bézier bei Renault und Paul de Casteljau bei Citroën entwickelt und ist ein wichtiges Werkzeug im Computer Aided Design (Computerunterstützte Konstruktion). Paul de Casteljau gelang zwar die Entdeckung früher, Citroën hielt seine Forschungen jedoch bis zum Ende der 1960er Jahre als Betriebsgeheimnis zurück.

Definition

Eine Bézierkurve n-ten Grades wird durch n+1 Punkte beschrieben und ist (für 0 ≤ t ≤ 1) rekursiv definiert als:

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\begin): \begin{align} C(t) \ & := \ C_0^n(t) \\ C(t)_i^j \ & := \ \begin{cases} (1-t)C_i^{j-1}(t) + tC_{i+1}^{j-1}(t), & j>0 \\ P_i, & \text{sonst } \end{cases} \end{align}

Löst man diese Rekursion auf erhält man:

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\begin): \begin{align} C(t) & = \sum_{i=0}^n \binom n i t^i (1-t)^{n-i} P_i \\ & = \sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) P_i \end{align}

wobei B_i,n das i-te Bernsteinpolynom n-ten Grades ist.

Eigenschaften

Bezier Kurven (rot) der Grade 1, 2 und 3 und zugehörige Kontrollpolygone (grau). Von links nach rechts wurde jeweils ein Kontrollpunkt (blau) hinzugefügt. Man erkennt wie die Kurve bei Einfügen/Verändern eines Kontrollpunkts "oszilliert", d.h. sich komplett verändert.

• Die Kurve liegt innerhalb der konvexen Hülle des Kontrollpolygons. Dies folgt daraus, dass die Bernsteinpolynome vom Grad n eine Zerlegung_der_Eins sind:
• Die Kurve geht genau durch die Endpunkte P₀ und P_n: Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\begin): \begin{align} C(0) \ & = \ \sum_{i=0}^n \binom n i 0^i(1-0)^{n-i} P_i = P_0 \\ C(1) \ & = \ P_n \end{align}

• Die Tangenten in den Endpunkten sind:

• Eine Gerade schneidet eine Bézierkurve höchstens so oft, wie sie ihr Kontrollpolygon schneidet (die Kurve hat eine beschränkte Schwankung).
• Eine affine Transformation (Verschiebung, Skalierung, Rotation, Scherung) kann auf die Bézierkurve durch Transformation des Kontrollpolygons angewendet werden ("affine Invarianz").
• Liegen alle Kontrollpunkte auf einer Geraden, so wird die Bézierkurve zu einer Strecke (Vorteil gegenüber der Polynominterpolation).
• Der Einfluss eines Kontrollpunktes auf die Kurve ist global. D.h.: Verschiebt man einen Punkte, verändert sich die gesamte Kurve. Daher verwendet man in der Praxis meist Splines, zusammengesetzte Kurven festen Grades, die stetig ineinander übergehen.

Als verallgemeinerte Form der Bézierkurve kann die Bézierfläche gesehen werden. Eine Bézierfläche (n,m)-ter Ordnung ist eine Fläche der Form

, mit den Kontrollpunkten P_i,j und den Bernsteinpolynomen B_i,n(u) und B_j,m(v).

Eine Bézierfläche kann also durch zwei zueinander orthogonale Bézierkurven beschrieben werden.

Anwendung

In der Computergrafik werden Bézierkurven zur Definition von Kurven und Flächen im Rahmen von CAD, bei Vektorgrafiken (z. B. SVG) und zur Beschreibung von Schriften (z. B. Postscript Type1 und CFF-Opentype) verwendet.

Eine Bézierkurve kann mit Hilfe des de Casteljau-Algorithmus effizient ausgewertet bzw. gezeichnet werden.

Beispiele

Lineare Bézierkurven (n=1)

Zwei Kontrollpunkte P₀ und P₁ bestimmen eine lineare Bézierkurve, die einer Geraden zwischen diesen beiden Punkten entspricht. Die Kurve wird angegeben durch

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\begin): \begin{align} C(t) \ & =\ \sum_{i=0}^1 t^i (1-t)^{1-i} P_i \\ \ & =\ (1-t)P_0 + t P_1 \mbox{ , } t \in [0,1] \end{align}

.

Quadratische Bézierkurven (n=2)

Eine quadratische Bézierkurve ist der Pfad, der durch die Funktion C(t) für die Punkte P₀, P₁ und P₂ verfolgt wird:

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\begin): \begin{align} C(t) \ & =\ \sum_{i=0}^2 t^i (1-t)^{1-i} P_i \\ \ & =\ (1 - t)^{2}P_0 + 2t(1 - t)P_1 + t^{2}P_2 \mbox{ , } t \in [0,1] \end{align}

.

Kubische Bézierkurven (n=3)

Kubische Bézierkurven sind in der Praxis von großer Bedeutung, da sowohl B-Spline-Kurven als auch NURBS stückweise in kubische Bézierkurven umgewandelt werden, um dann effizient mit dem de Casteljau-Algorithmus gezeichnet zu werden.

Vier Punkte (P₀, P₁, P₂ und P₃) bestimmen eine kubische Bézierkurve. Die Kurve beginnt bei P₀ und geht in Richtung P₁ und dann aus Richtung P₂ zu P₃. Im Allgemeinen geht die Kurve nicht durch P₁ und P₂ - diese Punkte dienen nur der Richtung, wobei P₁ die Richtung bestimmt, in welche die Kurve in P₀ geht. P₂ legt die Richtung fest, aus welcher die Kurve zu P₃ geht. Der Abstand zwischen P₀ und P₁ und der Abstand von P₂ und P₃ bestimmen, "wie weit" sich die Kurve in Richtung der Kontrollpunkte P₁ und P₂ bewegt, bevor sie in Richtung P₃ läuft.

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\begin): \begin{align} C(t) \ & = \ \sum_{i=0}^3 \binom 3 i t^i (1-t)^{3-i} \\ & = \ (1-t)^3P_0+3t(1-t)^2P_1+3t^2(1-t)P_2+t^3P_3 \\ & = \ \underbrace{(t^3 t^2 t 1)}_{Monome} \underbrace{\begin{pmatrix} -1 & 3 & -3 & 1 \\ 3 & -6& 3 & 0 \\ -3 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}_{Base\ Matrix} \underbrace{\begin{pmatrix} P_0 \\ P_1 \\ P_2 \\ P_3 \end{pmatrix}}_{Geometry\ Vector} \mbox{ , } t \in [0,1] \end{align}

.

Weblinks

Drei Stützpunkte

• Java-Applet

Vier Stützpunkte

• Bezierkurven zeichnen (direkt im Browser, Ausgabe direkt als Bild. Ohne Java)
• Mehrere Java-Applets mit Erläuterungen
• Java-Applet
• Java-Applet

Beliebig viele Stützpunkte

• Java-Applet, benötigt Java-Version 1.5.0 oder höher

Literatur

• Gerald Farin: Curves and Surfaces for CAGD. A practical guide. 5. Aufl. Academic Press, San Diego 2002, ISBN 1-55860-737-4
• David Salomon: Curves and Surfaces for Computer Graphics. Springer Science+Business Media, Inc., 2006, ISBN 0-387-24196-5