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Betragsfunktion

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In der Mathematik ordnet die Betragsfunktion einer reellen oder komplexen Zahl ihren Abstand zur Null zu. Dieser sogenannte absolute Betrag, Absolutbetrag oder auch schlicht Betrag ist immer eine nichtnegative, reelle Zahl.
Die Betragsfunktion ist überall stetig, jedoch in 0 nicht differenzierbar.

Übliche Notationen für die Betragsfunktion sind

\operatorname{abs}:\Bbb C\to \R_0^+, x\mapsto \operatorname{abs}(x)

und

|\cdot|:\Bbb C\to \R_0^+, x\mapsto |x|.
Verlauf der Absolutbetragsfunktion auf
Verlauf der Absolutbetragsfunktion auf \R

Für eine komplexe Zahl z=a+\mathrm{i}\,b ist

|z| = \sqrt{z \cdot \bar z} = \sqrt{(a + \mathrm{i}\,b) \cdot (a - \mathrm{i}\,b)} = \sqrt{a^2 + b^2} ,

wobei \bar z die komplex Konjugierte von z bezeichnet.

Für reelle Zahlen (Fall b=0) ergibt sich die Zuordnung

|x| = \begin{cases} \ \;\, x &\mathrm{f\ddot ur}\ x \ge 0\\ -x &\mathrm{f\ddot ur}\ x < 0 \end{cases}

Inhaltsverzeichnis

Betrag und Metrik

Über den Betrag kann man eine Abstandsfunktion (Metrik) definieren: Der Abstand d(x,y) zweier Zahlen x und y ist der Betrag ihrer Differenz | x − y | .

Ist der Betrag nichtarchimedisch (siehe unten), dann ist die erzeugte Metrik eine Ultrametrik.

Beispiele

Ausgehend von der Gleichung | x + 3 | = 5 sind alle x\in\R gesucht, die diese erfüllen.

Man rechnet wie folgt:

| x + 3 | = 5
\Leftrightarrow x+3 = 5 oder x + 3 = − 5
\Leftrightarrow x = 5-3 oder x = − 5 − 3
\Leftrightarrow x = 2 oder x = − 8

Die Gleichung wird also genau durch 2 und -8 gelöst.

Verallgemeinerung: Betrag und Bewertung

Verallgemeinert spricht man von einem Betrag, wenn eine Funktion |·| von einem Körper K in die reellen Zahlen folgende Eigenschaften erfüllt:

  1. |x| \geq 0 für alle x und | x | = 0 genau dann, wenn x = 0.
  2. |x| \cdot |y| = |x \cdot y|für alle x,y
  3. |x + y| \leq |x| + |y| (die Dreiecksungleichung)

Gilt zudem

4.|x + y|\leq\max(|x|,|y|)

so spricht man von einem ultrametrischen oder nichtarchimedischen, andernfalls von einem archimedischen Betrag. Die oben genannte Betragsfunktion auf den reellen bzw. komplexen Zahlen ist archimedisch. Da 3. aus 4. folgt, nennt man 4. auch die verschärfte Dreiecksungleichung. Nichtarchimedische Beträge spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der p-adischen Zahlen.

Hat man einen nichtarchimedischen Betrag |·|, und wählt eine reelle Zahl b > 1, dann hat die Funktion v\colon K\to\R\cup\{\infty\} mit
v(x) = − logb | x | für x ? 0 und v(0) = ? folgende Eigenschaften:

  1. v(x) = ? genau dann, wenn x = 0.
  2. v(x \cdot y)=v\left(x\right)+v\left(y\right) für alle x,y
  3. v(x + y) \geq\min\left(v\left(x\right),v\left(y\right)\right)

Eine Funktion v\colon K\to\R\cup\{\infty\} mit diesen drei Eigenschaften nennt man eine Bewertung auf K.

Umgekehrt kann man einer Bewertung v einen nichtarchimedischen Betrag zuordnen, indem man für eine reelle Zahl b > 1 setzt: | x | = b − v(x).

Weitere Verallgemeinerungen

Der Absolutbetrag ist eine spezielle Norm; den Begriff Norm kann man als eine Verallgemeinerung des Absolutbetrags verstehen.

Eine Abschwächung der Axiome für den Betrag führt auf den Begriff des Pseudobetrags.

Wikipedia
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