Ein Banach-Raum ist also ein Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ (normalerweise die reellen oder komplexen Zahlen) mit einer Norm und einer durch diese Norm induzierten Metrik, bezüglich der jede Cauchy-Folge aus Elementen von $V$ gegen ein Element von $V$ konvergiert.

Banach-Räume gehören zu den zentralen Studienobjekten der Funktionalanalysis. Die interessantesten Banach-Räume sind unendlich-dimensionale Funktionenräume.

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiele
2 Lineare Operatoren
3 Ableitungen
4 Dualer Raum
5 Einordnung in die Hierarchie mathematischer Strukturen
6 Literatur

Beispiele

Im Folgenden sei $K$ einer der Körper $\R$ oder $\Bbb C$ .

Die Euklidischen und unitären Räume $K n$ sind mit der 2-Norm $\|x\| = \sqrt{\sum |x_i|^2}$ Banach-Räume.
Der Raum aller stetigen Funktionen $f: [a,b]\to K$ auf einem kompakten Intervall wird mit der Supremumsnorm $\|f\| = \operatorname{sup} \{|f(x)|: x\in [a,b]\}$ zu einem Banach-Raum. Dies ist in der Tat eine Norm, da stetige Funktionen auf einem kompakten Intervall beschränkt sind. Der Raum ist vollständig unter dieser Norm und der resultierende Banach-Raum wird geschrieben als $C [a, b]$ .
Dieses letzte Beispiel kann auf den Raum $C (X)$ aller stetiger Funktionen $X \to K$ verallgemeinert werden, wobei $X$ ein kompakter Raum ist, oder auf den Raum aller beschränkten stetigen Funktionen $X \to K$ , wobei $X$ ein beliebiger topologischer Raum ist, oder sogar auf den Raum $B (X)$ aller beschränkten Funktionen $X \to K$ auf einer beliebigen Menge $X$ . In diesen Beispielen kann man Funktionen multiplizieren und im selben Raum bleiben. Diese Räume sind somit sogar so genannte Banach-Algebren.
Sei $p \ge 1$ eine reelle Zahl, so kann man den Raum aller Folgen ( $x_1, x_2, x_3, \ldots\,$ ) mit Elementen aus $K$ betrachten, welche die Eigenschaft haben, dass die unendliche Reihe $\sum | x_i |^p$ konvergiert.
Die $p$ -te Wurzel des Wertes dieser Reihe sei dann definiert als die $p$ -Norm der Folge. Der Raum zusammen mit dieser Norm ist ein Banach-Raum; er wird bezeichnet mit $l p$ .
Der Banach-Raum $l^\infty$ besteht aus allen beschränkten Folgen mit Elementen aus $K$ ; die Norm solch einer Folge ist definiert als das Supremum der Absolutbeträge der Elemente der Folge.
Wiederum, falls $p \ge 1$ eine reelle Zahl ist, kann man alle Funktionen $f : [a, b] \to K$ betrachten, wobei $| f | p$ Lebesgue-integrierbar ist. Die $p$ -te Wurzel aus diesem Integral sei dann die Norm von $f$ . An sich ist dieser Raum noch kein Banach-Raum, denn es gibt Funktionen, die nicht Null sind, ihre Norm jedoch wohl. Man definiert eine Äquivalenzrelation wie folgt: $f$ und $g$ sind äquivalent genau dann, wenn die Norm von $f - g$ Null ist. Die Menge der Äquivalenzklassen bildet dann einen Banach-Raum; er wird bezeichnet mit $L p [a, b]$ . Es ist entscheidend, hier den Raum der Lebesgue-integrierbaren Funktionen zu betrachten und nicht den Raum der Riemann-integrierbaren Funktionen, denn im zweiten Fall erhält man keinen vollständigen Raum.

Lineare Operatoren

Sind $V$ und $W$ Banach-Räume über demselben Körper $K$ , so wird die Menge aller stetigen $K$ -linearen Abbildungen $A: V \rightarrow W$ mit $L (V, W)$ bezeichnet.

Man bemerke, dass in unendlich-dimensionalen Räumen nicht alle linearen Abbildungen notwendigerweise stetig sind. L(V, W) ist ein Vektorraum, und indem man die Norm ||A|| = sup { ||Ax|| : x in V mit ||x|| ≤ 1 } definiert, kann er in einen Banach-Raum verwandelt werden.

Der Raum $L (V) = L (V, V)$ bildet sogar eine unitäre Banach-Algebra; die Multiplikationsoperation ist gegeben durch die Komposition linearer Abbildungen.

Ableitungen

Es ist möglich die Ableitung einer Funktion f : V → W zwischen zwei Banachräumen zu definieren. Intuitiv sieht man, dass, falls x ein Element von V ist, die Ableitung von f im Punkt x eine stetige lineare Abbildung ist, die f nahe x in der Ordnung des Abstandes $\vert h\vert$ approximiert.

Man nennt f (Fréchet)-differenzierbar in x, falls eine stetige lineare Abbildung $A : V \to W$ existiert, so dass

$\lim_{h\to 0} {\|f(x + h) - f(x) - A(h)\| \over \|h\|} = 0$

gilt. Der Grenzwert wird hier über alle Folgen mit nicht-Null-Element aus V gebildet, die gegen 0 konvergieren. Falls der Grenzwert existiert, schreibt man Df(x) = A und nennt es die (Fréchet)-Ableitung von f in x. Weitere Verallgemeinerungen der Ableitung ergeben sich analog zur Analysis auf endlich-dimensionalen Räumen. Gemeinsam für alle Ableitungsbegriffe ist aber die Frage nach der Stetigkeit der linearen Abbildung $D f (x)$

Dieser Begriff der Ableitung ist eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Ableitung von Funktionen $\R \to \R$ , da die linearen Abbildungen von $\R$ auf $\R$ einfach Multiplikationen mit reellen Zahlen sind.

Falls f differenzierbar ist in jedem Punkt x aus V, dann ist Df : V → L(V, W) eine weitere Abbildung zwischen Banachräumen (im Allgemeinen keine lineare Abbildung!), und kann möglicherweise erneut differenziert werden, wodurch die höheren Ableitungen von f definiert werden. Die n-te Ableitung im Punkt x kann somit als multilineare Abbildung $V_n \to W$ gesehen werden.

Differentiation ist eine lineare Operation im folgenden Sinne: sind $f$ und $g$ zwei Abbildungen V - W, die in x differenzierbar sind, und r und s sind Skalare aus $K$ , dann ist $r f + s g$ differenzierbar in x mit D(rf + sg)(x) = rD(f)(x) + sD(g)(x).

Die Kettenregel ist in diesem Zusammenhang ebenfalls gültig. Wenn $f : V \to W$ eine in $x \in V$ und $g : W \to X$ eine in $f (x)$ differenzierbare Funktion ist, dann ist die Komposition $g \circ f$ in $x$ differenzierbar und die Ableitung ist die Komposition der Ableitungen:

$D(g \circ f)(x) = D(g)(f(x)) \circ D(f)(x)$

Dualer Raum

Ist $V$ ein Banach-Raum und $K$ der zugrundeliegende Körper, dann ist $K$ selbst ebenfalls ein Banach-Raum (mit dem Absolutbetrag als Norm) und man kann den dualen Raum definieren durch $V' = L (V, K)$ . Dieser ist wiederum ein Banach-Raum. Er kann verwendet werden, um eine neue Topologie auf $V$ zu definieren: die schwache Topologie.

Es gibt eine natürliche Abbildung $F$ von $V$ auf $V'' = L (V', K)$ definiert durch

$F(x): V'\to K, F(x)(f) = f(x)$

für alle $x$ aus $V$ und $f$ aus $V'$ . Wie es aus dem Satz von Hahn-Banach folgt, ist diese Abbildung injektiv; falls sie zudem noch surjektiv ist, so nennt man den Banachraum $V$ reflexiv. Reflexive Räume haben viele wichtige geometrische Eigenschaften. Ein Raum ist reflexiv genau dann wenn sein Dual reflexiv ist, was der Fall ist genau dann wenn seine Einheitskugel in der schwachen Topologie kompakt ist.

Einordnung in die Hierarchie mathematischer Strukturen

Jeder Hilbert-Raum ist ein Banach-Raum, aber nicht umgekehrt: ein Banach-Raum ist genau dann ein Hilbert-Raum, wenn in ihm die Parallelogrammgleichung zumindest für eine äquivalente Norm gilt.

Einige wichtige Räume in der Funktionalanalysis, zum Beispiel der Raum aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ oder der Raum aller Distributionen auf $\mathbb{R}$ , sind zwar vollständig aber keine normierten Vektorräume und daher keine Banachräume. In Fréchet-Räumen hat man noch eine vollständige Metrik, während LF-Räume vollständige uniforme Vektorräume sind, die als Grenzfälle von Fréchet-Räumen auftauchen.

Literatur

Stefan Banach: Théorie des opérations linéaires. Warszawa 1932. (Monografie Matematyczne; 1) Zbl 0005.20901

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