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Baker-Campbell-Hausdorff-Formel
Aus Kefk.
In der Mathematik ist die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel eine Gleichung, die ein Vertauschungsgesetz für bestimmte lineare Operatoren angibt.
Vorbereitende Definitionen
Ist A ein linearer Operator eines Banachraumes in sich, dann kann man das Exponential dieses Operators so definieren:
Dabei bedeutet die Multiplikation eine Hintereinanderausführung und die Addition eine punktweise Addition der beteiligten Operatoren. Der Kommutator (auch Lie-Klammer) zweier linearer Operatoren A und B ist definiert als
- [A,B]: = AB − BA
Er ist wieder ein linearer Operator.
Die Formel
Aus der Definition folgt die sogenannte Baker-Campbell-Hausdorff-Formel
![e^A B e^{-A} = \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!} [A,B]_{m}](/w/images/math/b/c/3/bc38863f78a52fe8a512d072574c6f41.png)
mit [A,B]m = [A,[A,B]m − 1] und [A,B]0 = B.
Falls [A,[A,B]] = 0 und [B,[B,A]] = 0 gilt (d. h. jeder dieser beiden Kommutatoren ergibt die Nullfunktion), dann gelten die Formeln
- eAeB = eBeAe[A,B]
- eA + B = eAeBe − [A,B] / 2.
Auch diese beiden Formeln werden jeweils als Baker-Campbell-Hausdorff-Formel bezeichnet.
Es gibt weitere Formeln für Zusammenhänge zwischen den Exponentialen zweier Operatoren, die oft ebenso als Baker-Campbell-Hausdorff-Formel bezeichnet werden.
Weblink
- http://planetmath.org/encyclopedia/BakerCampellHausdorffFormulae.html -- Eine englische Darstellung verschiedener Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln
