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Die axiomatische Methode bezeichnet die strengste und präziseste Methode der Wissenschaft überhaupt und den strengsten Fall der deduktiven Methode. Die axiomatische Methode, zu der es eine umfangreiche Literatur gibt, lässt sich im wesentlichen wie folgt charakterisieren:

Gegeben sei eine Menge von wahren Aussagen über ein bestimmtes Sachgebiet und Regeln, mit deren Hilfe solche Aussagen in andere auf dieses Sachgebiet bezüglich umgeformt werden können. Diese Aussagenmenge wird nun in zwei Teilmengen derart aufgespalten, dass es möglich ist, mit Hilfe von genau definierten Regeln aus der einen Teilmenge, deren Elemente Axiome genannt werden, durch Umformung alle wahren Aussagen der zweiten Teilmenge, deren Elemente Theoreme genannt werden, zu gewinnen.

In einer solchen Ableitung von Theoremen aus Axiomen muss bei jedem Schritt der Ableitung genau angegeben werden, welche Axiome bzw. welche aus diesen bereits abgeleiteten Theoreme und welche Regeln verwendet werden. Die Axiome selbst werden als gegeben vorausgesetzt. Entweder sind sie so einfach, dass sie intuitiv als richtig angesehen werden können oder der Beweis der Wahrheit muss auf andere Art erbracht werden, zum Beispiel durch Auswertung von Experimenten oder Beobachtungen oder sonstigen Nachweisverfahren mit ihren Analysen. Zu den Prinzipien der axiomatischen Methode gehört es ferner, dass genau unterschieden wird zwischen Schlussregeln oder Umformungsregeln, Definitionsregeln und Formregeln des axiomatischen Systems.

Ihre eigentliche Bedeutung gewinnt die axiomatische Methode erst, wenn sie Schritt für Schritt mit einer Formalisierung des Systems vorangeht. In einem formalisierten Axiomensystem (auch Kalkül genannt) sind alle Aussagen, Ausdrücke u. a., Axiome, Theoreme durch Zeichen dargestellt, von deren Bedeutung abstrahiert wird. Die Ableitung von Theoremen aus Axiomen, die Umformung von Ausdrücken u. a. verwandelt sich damit in ein Operieren mit Zeichen und Zeichenreihen nach bestimten Umformungsregeln.

Eine Problemstellung der Art:

"Lässt sich unter Verwendung der logischen Schlussregeln u.a. eine Aussage q aus einer Aussage p beweisen?"

entspricht jetzt eine Problemstellung der Art:

"Lässt sich die Zeichenreihe, die der Aussage q entspricht, aus der Zeichenreihe, die der Aussage p entspricht, durch zugelassene Substitution u. a. herstellen?"

Erst auf dieser Stufe der Abstraktion ist es im allgemeinen möglich, die Idealforderungen, die an ein Axiomensystem gestellt werden, ganz oder zum Teil zu realisieren:

(1) Widerspruchsfreiheit: Es lassen sich keine falschen oder widersprüchlichen Aussagen ableiten.

(2) Vollständigkeit: Es lassen sich alle wahren Aussagen ableiten.

(3) Unabhängigkeit: Es lassen sich keine Axiome ableiten. (Sollte dies doch der Fall sein, kann das betreffende Axiom den Theoremen hinzugefügt werden.)

Beispiel:

Ein Axiomensystem von David Hilbert für die Menge der allgemeinen Ausdrücke des Aussagenkalküls:

(1)

(2)

(3)

(4)

Zu den hier vier angegebenen Axiomen kommen noch zwei Schlussregeln hinzu, und zwar die sogenannte Abtrennungsregel (wenn p und gültig sind, dann ist auch q gültig) und die sogenannte Einsetzungsregel (in die oben genannten logische Ausdrücke darf an die Stelle der Variablen jeder beliebige allgemeingültige außenlogische Ausdruck eingesetzt werden).

Das Axiomensystem von Hilbert zeigt zum Beispiel, dass solche Aussagen, die in der klassischen Logik als Axiome betrachtet werden, in ihm gar nicht auftreten; sie lassen sich vielmehr aus diesem durch Deduktion gewinnen.

Für die meisten Wissenschaftsdisziplinen ist heute die Durchführung einer Axiomatisierung noch nicht möglich. Diese Forderung nach Durchführung einer Axiomatisierung hat also in vielen Fällen den Charakter einer regulativen Idee.

siehe auch: axiomatische Theorie