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Astronomische Einheit

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Einheit
Norm Astronomische Maßeinheiten
Name Astronomische Einheit
Einheitenzeichen \mathrm{AE,\, AU}
Dimension Weg, Strecke, Durchmesser
Formelzeichen der Dimension s,\, d
Beschriebene Größe(n) Länge
Formelzeichen der
beschriebenen Größe(n) 		l
In SI-Einheiten \mathrm{1\, AE = 149\, 597\, 870\, 691 \, m}

Die Astronomische Einheit (Kürzel AE, international AU für Astronomical Unit) ist neben dem Lichtjahr und dem Parsec die wichtigste Längeneinheit unter den Astronomischen Maßeinheiten. Sie ist im Internationalen Einheitensystem seit 1978 nicht mehr zulässig. Trotzdem gilt sie in der Astronomie als unverzichtbar und wird weiterhin verwendet.

Die AE beträgt 149.597.870.691 m, das entspricht ungefähr der großen Halbachse der Erdumlaufbahn (dem mittleren Abstand der Erde vom Zentrum der Sonne). Entfernungen innerhalb des Sonnensystems werden meist in AE angegeben.

Der moderne Wert wurde mittels Radar- und anderen Distanzmessungen von der Erde zu den Nachbarplaneten und zu Raumsonden bestimmt. Früher wurde die AE hauptsächlich aus Parallaxenmessungen mit dem Erdradius als Basislinie abgeleitet.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Die AE war ursprünglich definiert als die Länge der großen Halbachse der Erdbahn. Seit 1976 definiert die Internationale Astronomische Union (IAU) die AE als den Radius einer kreisförmigen Umlaufbahn, auf der ein Teilchen mit vernachlässigbarer Masse und frei von Störungen die Sonne in 2 π / k Tagen umläuft.[1] Dabei ist k die Gaußsche Gravitationskonstante, deren Wert in Astronomischen Maßeinheiten definitionsgemäß exakt k = 0,017 202 098 95 beträgt.

Begründung

Astronomische Maßeinheiten

Für die Umlaufdauer \, U_P eines Planeten der Masse \, M_p, welcher die Sonne (Masse Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\odot): M_\odot ) auf einer Bahn mit der großen Halbachse \, a_P umläuft, gilt:[2]

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\odot): \frac{U_\mathrm{P}^2}{a_\mathrm{P}^3} \, = \, \frac{4 \, \pi^2}{G \cdot (M_\odot + M_\mathrm{P})} \qquad (\ast) .

Für zwei Planeten P1 und P2 folgt daraus:

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\odot): \frac{U_\mathrm{P1}^2}{U_\mathrm{P2}^2} \cdot \frac{M_\odot + M_\mathrm{P1}}{M_\odot + M_\mathrm{P2}} \, = \, \frac{a_\mathrm{P1}^3}{a_\mathrm{P2}^3} .

Dies ist das Dritte Keplergesetz unter Berücksichtigung der Planetenmassen. Es enthält nur Verhältnisse der Umlaufzeiten, der Massen und der großen Halbachsen. Das Zweite Keplergesetz enthält nur eine Aussage über die Verhältnisse der vom Fahrstrahl in bestimmten Zeitintervallen überstrichenen Flächen. Diese Gesetze liefern die Positionen der Planeten daher zunächst in einem noch unbestimmten Maßstab. Man kann deshalb die Einheiten der vorkommenden Längen, Zeitintervalle und Massen so wählen, dass sie die Rechnungen möglichst einfach gestalten. In der klassischen Astronomie wählte man üblicherweise als Astronomische Längeneinheit die Länge der großen Halbachse der Erdbahn („1 \ \mathrm{AE}“), als Astronomische Masseneinheit die Masse der Sonne („Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\odot): 1 \ \mathrm{M_\odot} “) und als Astronomische Zeiteinheit den Tag („1 \ \mathrm{d}“).

Da die Positionen der Himmelskörper an der scheinbaren Himmelskugel (also die Richtungswinkel, unter denen sie dem Beobachter erscheinen) von absoluten Maßstäben unabhängig sind, konnten die Astronomen mit diesen relativen Maßstäben bereits hochpräzise Positionsastronomie betreiben. Die Entfernung eines Planeten konnte außerdem für einen gewünschten Zeitpunkt mit hoher Genauigkeit in Astronomischen Einheiten angegeben werden, die Entfernung in Metern hingegen weit weniger genau, da die Länge der Astronomischen Einheit in Metern nur mäßig genau bekannt war. Ähnlich konnten die Massen der Planeten recht genau in Sonnenmassen angegeben werden, deutlich weniger genau in Kilogramm.

Trotz mittlerweile erheblich verbesserter Kenntnis der Umrechenfaktoren besteht diese Situation grundsätzlich heute noch, weshalb die Astronomischen Maßeinheiten auch über ihre Bequemlichkeit hinaus nach wie vor unentbehrlich sind.

Gaußsche Gravitationskonstante

Der Zahlenwert der Gravitationskonstanten G in der Gleichung Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\ast): (\ast) 

hängt von der Wahl der Einheiten für die vorkommenden physikalischen Größen ab. Für die Umlaufdauer des Planeten folgt aus der Gleichung
Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\odot): U_\mathrm{P} \, = \, \frac{2 \pi \cdot a_\mathrm{P}^\frac{3}{2}}{\sqrt{G} \cdot \sqrt{M_\odot(1 + \frac{M_\mathrm{P}}{M_\odot})}}

oder mit den Abkürzungen k := \sqrt{G} und Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\odot): \mu_\mathrm{P} := \frac{M_\mathrm{P}}{M_\odot}

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\odot): U_\mathrm{P} \, = \, \frac{2 \pi \cdot a_\mathrm{P}^\frac{3}{2}}{k \cdot \sqrt{M_\odot(1 + \mu_\mathrm{P})}}

C.F. Gauß bestimmte 1809 den Wert der Gravitationskonstanten \, k in Astronomischen Maßeinheiten, indem er die Formel auf die Erdbahn anwendete (a_\mathrm{E} \, = \, 1 \mathrm{AE}) und die damals besten Zahlenwerte für UE und μE einsetzte:[3]

U_\mathrm{E} \, = \, 365{,}2563835 \ \mathrm{d} (siderisches Jahr)
Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\odot): \mu_\mathrm{E} \, = \, 1/354710 \ \mathrm{M_\odot} \, = \, 0{,}0000028192 \ \mathrm{M_\odot}

 

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\odot): k \, = \, \frac{2 \pi}{U_\mathrm{E} \cdot \sqrt{1+\mu_\mathrm{E}}} \, = \, 0{,}01720209895 \ \frac{\mathrm{AE}^\frac{3}{2}}{\mathrm{d} \, \sqrt{\mathrm{M_\odot}}}


Dieser Zahlenwert der Gravitationskonstanten in Astronomischen Maßeinheiten (die so genannte gaußsche Gravitationskonstante) wurde in der Folge als Standardwert für zahlreiche astronomische Berechnungen verwendet.

Neudefinition

Mit stets verbesserter Kenntnis von UE und μE hätte auch der Zahlenwert von k ständig verbessert werden können. Der gaußsche Wert lag jedoch bald zahlreichen fundamentalen Tabellen zugrunde, welche bei jeder Veränderung von k hätten neu berechnet werden müssen. Eine Alternative hätte darin bestanden, in der Gleichung

U_\mathrm{E} \, = \, \frac{2 \pi \cdot a_\mathrm{E}^\frac{3}{2}}{k \cdot \sqrt{1 + \mu_\mathrm{E}}}

den Zahlenwert von k beizubehalten und stattdessen die Längeneinheit, in der aE gemessen wird, so anzupassen, dass der neue Zahlenwert von aE die Gleichung erfüllt. Die große Halbachse aE der Erdbahn hätte damit ihren definierenden Status verloren: sie hätte in Astronomischen Maßeinheiten nicht mehr strikt die Länge 1 AE. Die Längeneinheit, bezüglich welcher aE den die Gleichung erfüllenden Zahlenwert annimmt, wäre die neue AE. Da die Definition der AE damit aber ohnehin nicht mehr unmittelbar durch die Erdbahn gegeben gewesen wäre, löste sich die IAU auch von der Erdmasse μE und bezog die neue Definition auf einen fiktiven Körper mit vernachlässigbar kleiner Masse (\mu_\mathrm{f} \, \rightarrow \, 0). Denkt man sich einen solchen fiktiven Körper auf einer ungestörten Bahn, welche dem Gesetz Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\ast): (\ast) 

gehorcht, und deren große Halbachse gleich der zu bestimmenden neuen Längeneinheit ist (a_\mathrm{f} \, = \, 1), so gilt für ihn
U_\mathrm{f} \, = \, \frac{2 \pi}{k}.

Dieser definierende Körper hat also eine Umlaufdauer von 2π / k = 365,256898326... Tagen.[4] Die fiktive Bahn lässt sich ohne Verlust der Allgemeinheit als kreisförmig annehmen. Damit lautet die Definition:

Die Astronomische Einheit AE ist der Radius einer kreisförmigen Umlaufbahn, auf welcher ein Körper mit vernachlässigbarer Masse und frei von Störungen in 2π / k Tagen um die Sonne laufen würde, wobei k die gaußsche Gravitationskonstante ist.[1]


Für die Umlaufzeiten der Erde und des definierenden Körpers liefert das Dritte Keplergesetz:

\frac{U_\mathrm{E}^2}{U_\mathrm{f}^2} \cdot \frac{M_\mathrm{S} + M_\mathrm{E}}{M_\mathrm{S} + 0} \, = \, \frac{a_\mathrm{E}^3}{1}.


Auflösen nach aE und Einsetzen der aktuellen Zahlenwerte \mu_\mathrm{E} \, = \, 1/328900{,}561400 [5] sowie U_\mathrm{E} \, = \, 365{,}256363 \, \mathrm{d} [6] ergibt

a_\mathrm{E} \, = \, \sqrt[3]{ \frac{U_\mathrm{E}^2}{(2\pi/k)^2} \cdot (1 + \mu_\mathrm{E}) } \, = \, 1{,}000000036 \, AE.[7]

Aus dem Verhältnis der Umlaufzeiten beider Körper folgt also das Verhältnis ihrer großen Halbachsen. Die eine davon definiert aber gerade die Astronomische Einheit; das Ergebnis ist also die in AE ausgedrückte große Halbachse der Erdbahn, welche etwas größer ist als 1 AE.

Rechnet man Umlaufzeit Uf und große Halbachse af = 1AE des fiktiven masselosen Körpers von Astronomischen Maßeinheiten wieder nach SI-Einheiten um und setzt das Ergebnis in Gleichung Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\ast): (\ast) 

ein, so ergibt sich:
Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\odot): \frac{(U_\mathrm{f} \cdot 86400 \, \mathrm{\frac{s}{d}})^2}{(1 \cdot L \, \mathrm{\frac{m}{AU}} )^3} \, = \, \frac{4 \, \pi^2}{G \cdot M_\odot} ,

wobei L der noch zu bestimmende Umrechnungsfaktor von Astronomischen Einheiten in Meter ist. Einsetzen von Uf = 2π / k und Auflösen nach k liefert:


Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\odot): k^2 \, = \, GM_\odot \cdot \frac{(86400 \, \mathrm{\frac{s}{d}})^2}{(L \, \mathrm{\frac{m}{AU}} )^3}


Die heliozentrische Gravitationskonstante Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\odot): GM_\odot 

ist das Produkt aus der newtonschen Gravitationskonstanten und der Sonnenmasse. Sie lässt sich aus der Vermessung der Planetenbahnen ableiten und ist mit wesentlich höherer Genauigkeit bekannt als ihre beiden Einzelfaktoren.

Die eben genannte Formel stellt nichts anderes dar als die Umrechnung von \sqrt{G} (in SI-Einheiten) nach k (in Astronomischen Maßeinheiten). Die Definition der AE lässt sich daher auch formulieren als

Die astronomische Längeneinheit ist jene Länge, für welche die gaußsche Gravitationskonstante k den Wert 0,017 202 098 95 annimmt, wenn die Maßeinheiten die astronomischen Einheiten für Länge, Masse und Zeit sind.[8]

Messung

Die heliozentrische Gravitationskonstante ist eine fundamentale Konstante des Sonnensystems; in den Einheiten AE3/d2 hat sie den durch die obigen Definitionen festgelegten Zahlenwert k2. Aus der Vermessung der mittleren Bewegungen oder der Umlaufperioden der Planeten, welche sich sehr genau bestimmen lassen, folgen über das Dritte Keplergesetz (in der newtonschen Fassung inklusive relativistischer Korrekturen[9]) mit derselben Genauigkeit die großen Halbachsen der Planeten in AE. Die Abstandsmessungen zu den Planeten mittels Radar bestimmen deren Bahngeometrie und damit die großen Halbachsen ihrer Bahnen in Metern; das Verhältnis zur Länge der großen Halbachsen in AE liefert die Länge der AE in Metern sowie den Zahlenwert von Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\odot): GM_\odot 

in m3/s2.[10]

Die folgende Tabelle listet einige moderne Ephemeriden auf, die durch Anpassung der physikalischen Bewegungsgleichungen an umfangreiches Beobachtungsmaterial gewonnen wurden. Jede solche Anpassung liefert unter anderem wie eben beschrieben einen Zahlenwert für den so genannten Skalenfaktor des Sonnensystems, welcher die Länge der AE in Metern angibt (die angegebenen Unsicherheiten sind in der Regel formale Unsicherheiten, die im Zuge der Anpassung aus der Konsistenz der Messdaten untereinander abgeschätzt werden und die meist zu optimistisch ausfallen. Ein realistischeres Bild der Unsicherheiten gewinnt man durch Vergleich der Ergebnisse untereinander):

AE Ephemeride
149 597 870 684 m ± 30 m JPL DE 102, Newhall 1983[11]
149 597 870 660 m ± 2 m JPL DE118, DE200, Standish 1990[12][13]
149 597 870 620 m ± 180 m Krasinsky 1993[14]
class="hintergrundfarbe5"
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149 597 870 691 m ± 6 m class="hintergrundfarbe5"
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JPL DE405, Standish 1998[15]
149 597 870 691,2 m ± 0,2 m IAA EPM2000, Pitjeva 2000[16]
149 597 870 697,4 m ± 0,3 m JPL DE410, Standish 2003[17]
149 597 870 696,0 m ± 0,1 m IAA EPM2004, Pitjeva 2004[18]
149 597 870 700,85... m JPL DE414, Standish 2006[19]

Die Ephemeride DE405 des JPL liegt derzeit zahlreichen Jahrbüchern und sonstigen Ephemeridenwerken zugrunde. Der aus ihr abgeleitete Zahlenwert ist daher gegenwärtig der gebräuchlichste Standardwert. Er wird auch vom IERS empfohlen.[20]

Streng genommen ist der genannte Zahlenwert nicht der SI-Wert, da den Berechnungen der Planetenbewegungen die auf den Schwerpunkt des Sonnensystems bezogene Zeitskala TDB zugrunde gelegt wird, während die SI-Sekunde sich definitionsgemäß auf die Erdoberfläche bezieht und aus relativistischen Gründen etwas schneller läuft. Rechnet man den TDB-Wert auf strikte SI-Einheiten um, so ergibt sich:[21]

Zeitskala AE
TDB 149 597 870 691 m
SI 149 597 871 464 m

Veränderlichkeit der AE

Auswertungen von Radarmessungen aus dem Zeitraum von 1961 bis 2003 scheinen anzudeuten, dass der Skalenfaktor des Sonnensystems langsam zunimmt. Es werden Änderungsraten von (15 ± 4) m/Jhdt[22] und (7 ± 2) m/Jhdt[23] genannt; die Ursache ist bislang unbekannt.

  • Die naheliegende Vermutung, der beobachtete Effekt werde durch die Expansion des Universums verursacht, erweist sich als unzutreffend. Theoretische Untersuchungen anhand gängiger kosmologischer Modelle zeigen, dass die kosmische Expansion keine messbaren Auswirkungen auf die Bewegung der Planeten hat.[22]
  • Der durch den Sonnenwind und die Energieabstrahlung verursachte Massenverlust der Sonne führt zwar tatsächlich zu einer langfristigen Vergrößerung der AE, aber nur um etwa 0,3 m/Jhdt.[22]
  • Eine Abnahme der Gravitationskonstanten G um etwa 2×10-10 Prozent pro Jahr könnte den Effekt erklären, jedoch kann nach neueren Messungen eine eventuelle Veränderlichkeit von G nicht größer als etwa 0,06×10-10 Prozent pro Jahr sein.[18]

Bislang lässt sich nicht ausschließen, dass es sich lediglich um systematische Fehler in den Beobachtungen handelt.[22] Bei der Berechnung der Planetenbahnen oder der Signalausbreitung unberücksichtigt gebliebene Effekte werden für weniger wahrscheinlich gehalten.[22] Erklärungsversuche im Rahmen exotischerer Gravitationstheorien wie z.B. der String-Theorie werden derzeit als „hoch spekulativ“ angesehen.[24]

Umrechnung

Eine Astronomische Einheit (1 AE) entspricht

  • 1,495 978 706 91 · 1011 m (149.597.870.691 Meter) oder
  • 1,495 978 706 91 · 108 km (149.597.870,691 Kilometer) oder
  • 149,597 870 691 Millionen km (149,597 870 691 Gigameter).

Ausgedrückt in interstellaren Längenmaßen beträgt sie

  • 1,581 · 10-5 Lj (0,000 015 81 Lichtjahre) oder
  • 8 Lichtminuten und 19,0047838 Lichtsekunden oder
  • 4,848 136 811 13 · 10-6 pc (0,000 004 848 136 811 13 Parsec) oder
  • exakt: tan (1°/3600) pc ≈ π / (180 × 3600) pc.
SI-Präfixe
Name Yotta Zetta Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka
Symbol Y Z E P T G M k h da
Faktor 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101
Name Dezi Zenti Milli Mikro Nano Piko Femto Atto Zepto Yokto
Symbol d c m µ n p f a z y
Faktor 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18 10−21 10−24

Siehe auch

Literatur

  • Standish, E.M.: The Astronomical Unit now. Proceedings IAU Colloquium No. 196, 2004, S. 163-179 (PDF 1,5 MB)

Quellen

  1. . a b Seidelmann P.K. (Hrsg.): Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. University Science Books, Mill Valley 1992, ISBN 0-935702-68-7; S. 722
  2. ↑ Schödlbauer A.: Geodätische Astronomie. Walter de Gruyter, Berlin 2000, ISBN 3-11-015148-0; S. 76
  3. ↑ Gauß C.F.: Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium. Perthes, Hamburg 1809 (Online-Scan), S. 14
  4. ↑ Schödlbauer, S. 111
  5. ↑ The Astronomical Almanac for the Year 2006. U.S. Government Printing Office, Washington 2004, ISBN 0 11 887333 4; S. K7 (Summe der Massen von Erde und Mond)
  6. ↑ The Astronomical Almanac 2006, S. C1
  7. ↑ Schödlbauer, S. 112
  8. ↑ The Astronomical Almanac 2006, S. K6
  9. ↑ Newhall X.X., Standish E.M., Williams J.G.:DE 102: a numerically integrated ephemeris of the Moon and planets spanning forty-four centuries. Astronomy and Astrophysics 125, 150-167 (1983) (PDF 3,1 MB)
  10. ↑ Newhall 1983; S 162
  11. ↑ Newhall 1983; AE S. 160, Unsicherheit S. 150, S. 162
  12. ↑ Standish, E.M.: The observational basis for JPL's DE 200, the planetary ephemerides of the Astronomical Almanac. Astronomy and Astrophysics 233, 252-271 (1990) (PDF 2,6 MB)
  13. ↑ Seidelmann, S. 302
  14. ↑ Krasinsky G.A. et al.: The Motion of Major Planets from Observations 1769-1988 and Some Astronomical Constants. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 55, 1-23 (1993) (PDF 1,9 MB)
  15. ↑ JPL Interoffica Memorandum IOM 312.F - 98 - 048; August 26, 1998 (PS 938 KB); Unsicherheit nach Astronomical Almanac 2006, S. K6
  16. ↑ Pitjeva E.V.: Progress in the determination of some astronomical constants from radiometric observations of planets and spacecraft. Astronomy and Astrophysics 371, 760-765 (2001) (PDF 108 KB)
  17. ↑ JPL Interoffice Memorandum IOM 312.N - 03 - 009; April 24, 2003 (PDF 6,7 MB)
  18. . a b Pitjeva, E.V.: Precise determination of the motion of planets and some astronomical constants from modern observations. Proceedings IAU Colloquium No. 196, 2004, S. 230-241 (PDF 190 KB)
  19. ↑ JPL Interoffice Memorandum IOM 343R - 06 - 002; April 21, 2006 (PDF 1,0 MB)
  20. ↑ McCarthy D.D., Petit G. (Hrsg.): IERS Conventions (2003). Verlag des Bundesamtes für Kartographie und Geodäsie, Frankfurt/M. 2004 (online)
  21. ↑ The Astronomical Almanac 2006, S. K6
  22. . a b c d e Krasinsky G.A., Brumberg V.A.: Secular Increase of Astronomical Unit from Analysis of the Major Planet Motions, and its Interpretation. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 90: 267-288 (2004) (PDF 206 KB)
  23. ↑ Standish E.M.: The Astronomical Unit now. In: D.W. Kurtz (Hrsg.): Transits of Venus: New Views of the Solar System and Galaxy, Proceedings IAU Colloquium No. 196, 2004, 163-179 (PDF 1,5 MB)
  24. ↑ Preuss O., Dittus H., Lämmerzahl C.: Überraschungen vor der Haustür - Ist die Physik innerhalb des Sonnensystems wirklich verstanden?. Sterne und Weltraum 4/2007, 27-34
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