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Arnoldi-Verfahren

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In der numerischen Mathematik ist das Arnoldi-Verfahren wie das Lanczos-Verfahren ein iteratives Verfahren zur Bestimmung einiger Eigenwerte und zugehöriger Eigenvektoren. Im Arnoldi-Verfahren wird zu einer gegebenen Matrix A\in\mathbb{C}^{n\times n} und einem gegebenen Startvektor q\in\mathbb{C}^n eine orthonormale Basis des zugeordneten Krylowraumes

\mathcal{K}_m(A,q)=\mbox{span}\{q,Aq,A^2q,\ldots\,A^{m-1}q\}

berechnet. Da die Spalten Aiq bis auf eine etwaige Skalierung genau den in der Potenzmethode berechneten Vektoren entsprechen, ist es klar, dass der Algorithmus instabil wird, wenn zuerst diese Basis berechnet würde und anschließend, z.B. nach Gram-Schmidt, orthonormalisiert würde.

Der Algorithmus kommt allerdings ohne die vorherige Aufstellung der sogenannten Krylowmatrix K_m(A,q)=\left(q,Aq,A^2q,\ldots,A^{m-1}q \right) aus.

Der Algorithmus (MGS-Variante)

Gegeben sei eine quadratische Matrix A\in\mathbb{C}^{n\times n} und ein (nicht notwendig normierter) Startvektor r_0\in\mathbb{C}^n.

for k\in\mathbb{N} do

h_{k,k-1}\leftarrow \|r_{k-1}\|
q_k\leftarrow r_{k-1}/h_{k,k-1}
r_k\leftarrow Aq_k
for j=1,\ldots,k do
h_{jk}\leftarrow \langle q_j,r_k\rangle
r_k\leftarrow r_k-q_jh_{jk}
end for

end for

Literatur

  • W.E. Arnoldi: The Principle of Minimized Iterations in the Solution of the Matrix Eigenvalue Problem. In: Quarterly of Applied Mathematics. 9, 1951
Wikipedia
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, S. 17-29
Wikipedia
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  • Gene H. Golub, Charles F. Van Loan: Matrix Computations., 3. Edition, The Johns Hopkins University Press 1996, ISBN 0-8018-5414-8
Wikipedia
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