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Arkussinus und Arkuskosinus

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Arkussinus (geschrieben arcsin, asin oder sin-1) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Sinusfunktion. Arkuskosinus (geschrieben arccos, acos oder cos-1) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Kosinusfunktion. Beide Funktionen gehören damit zur Klasse der Arkusfunktionen.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Die Sinusfunktion ist 2π-periodisch. Daher muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, damit sie umkehrbar-eindeutig wird. Da es für diese Einschränkung mehrere Möglichkeiten gibt, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Meist wird der Hauptzweig (oder Hauptwert), die Umkehrfunktion der Einschränkung \sin|_{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]} betrachtet. In diesem Fall entsteht die bijektive Funktion mit

\arcsin\colon[-1,1]\to \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right].

Analog zum Arkussinus wird der Hauptwert des Arkuskosinus definiert als die Umkehrfunktion von cos | [0,π]. Diese Definition führt zu der bijektiven Funktion

\arccos\colon[-1,1]\to[0,\pi].

Umrechnung

\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x

Eigenschaften

Bild:Arcsin.svg
Graph der Funktion Arkussinus
Bild:Arccos.svg
Graph der Funktion Arkuskosinus


  Arkussinus Arkuskosinus
Definitionsbereich -1 \le x \le 1 -1 \le x \le 1
Wertebereich -\frac{\pi}{2} \le f(x) \le + \frac{\pi}{2} 0 \le f(x) \le \pi
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
Symmetrien Ungerade Funktion: \arcsin(-x) = -\arcsin(x)\! Punktsymetrie zu \left(x=0\;,\;y =\frac{\pi}{2}\right)
\arccos(x) = \pi - \arccos(-x)\!
Asymptoten f(x) \to\pm \frac{\pi}{2} für x \to\pm 1 f(x) \to \frac{\pi}{2} \mp \frac{\pi}{2} für x \to\pm 1
Nullstellen x = 0\! x = 1\!
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte x = 0\! x = 0\!

Formeln für negative Argumente

Aufgrund der Symmetrieeigenschaften gilt:

\arcsin(-x) = -\arcsin(x)\,
\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)\,

Reihenentwicklung

Die Taylorreihe des Arkussinus erhält man durch Anwenden des binomischen Lehrsatzes auf die Ableitung, sie ist gegeben durch:

\arcsin(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty{-\frac{1}{2}\choose k}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1} = x-\frac16 x^3 + \frac{3}{40} x^5-\frac{5}{112}x^7+\frac{35}{1152}x^9\cdots.

Die Taylorreihe des Arkuskosinus ist aufgrund der Beziehung \arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x  :

\arccos(x) = \frac{\pi}{2}-\sum\limits_{k=0}^\infty{-\frac{1}{2}\choose k}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}

Umkehrfunktionen

Arkussinus:    Sinusfunktion: x = \sin(y)\!
Arkuskosinus:    Kosinusfunktion: x = \cos(y)\!

Ableitungen

Arkussinus:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin(ax+b) = \frac{a}{\sqrt{1-(ax+b)^2}}

Mit a = 1 und b = 0:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin (x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Arkuskosinus:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(ax+b) = - \frac{a}{\sqrt{1 - (ax+b)^2}}

Mit a = 1 und b = 0:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(x) = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Umrechnung:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(x) = - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin (x)

Integrale

Arkussinus:

\int \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) \mathrm dx = x\,\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + \sqrt{a^2 - x^2 } + C

Arkuskosinus:

\int \arccos \left( \frac{x}{a} \right)\, \mathrm dx = x \, \arccos \left( \frac{x}{a} \right) - \sqrt{ a^2 - x^2} + C

Anmerkungen

Besondere Werte

x − 1 -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1
arcsin(x) -\frac{\pi}{2} -\frac{\pi}{3} -\frac{\pi}{4} -\frac{\pi}{6} 0 \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2}
x − 1 -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1
arccos(x) π \frac{5 \pi}{6} \frac{3 \pi}{4} \frac{2 \pi}{3} \frac{\pi}{2} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{6} 0

Weiterführendes

Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ausdrücken:

\arcsin z = -\mathrm{i}\,\ln\left(\mathrm i z+\sqrt{1-z^2}\right)
\arccos z = -\mathrm{i}\,\ln\left(z+\mathrm i\sqrt{1-z^2}\right)

Literatur


Siehe auch

Bild:F of x.svg
Trigonometrische und Arkusfunktionen

Sinus | Kosinus | Tangens | Kotangens | Sekans | Kosekans

Arkussinus | Arkuskosinus | Arkustangens | Arkuskotangens | Arkussekans | Arkuskosekans

 
Wikipedia
 Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort Arkussinus_und_Arkuskosinus, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation.
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