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Arkussekans und Arkuskosekans

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Arkussekans und Arkuskosekans sind mathematische Funktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen der Sekansfunktion bzw. der Kosekansfunktion und damit Arkusfunktionen.
Da die Sekans- und die Kosekansfunktion periodisch sind, wird zur Umkehrung der Definitionsbereich von Sekans auf \lbrack 0\, ,\, \pi \rbrack , und der Definitionsbereich von Kosekans auf \lbrack - {\pi / 2 },\, \pi / 2 \rbrack beschränkt

Schreibweise:

f(x)=\operatorname{arcsec}\,(x)
f(x)=\operatorname{arccsc}\,(x)

Inhaltsverzeichnis


Definition

Umkehrfunktionen zu Sekans und Kosekans


Eigenschaften

Bild:Arcsec.svg
Graph der Funktion y = arcsec(x)
Bild:Arccsc.svg
Graph der Funktion y = arccsc(x)
  Arkussekans Arkuskosekans
Definitionsbereich -\infty < x \le -1 \, , \, 1 \le x < +\infty -\infty < x \le -1 \, , \, 1 \le x < +\infty
Wertebereich 0 \le < f(x) \le \pi - \frac{\pi}{2} \le f(x) \le \frac{\pi}{2}
Periodizität keine keine
Monotonie In beiden Abschnitten jeweils
streng monoton steigend 		In beiden Abschnitten jeweils
streng monoton fallend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Punkt x = 0 , y = \frac{\pi}{2} Ungerade Funktion \operatorname{arccsc}\,(x)=-\operatorname{arccsc}\,(-x)
Asymptoten f(x) \to \frac{\pi}{2} für x \to\pm\infty f(x) \to\pm \frac{\pi}{2} für x \to\pm\infty
Nullstellen keine keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte keine keine

Reihenentwicklung

Arkussekans:

\arcsec(x)=\frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!! x^{-(2k+1)}} {(2k)!! * (2k+1) }\approx\frac{\pi}{2}- x^{-1}-\frac{1}{6}x^{-3}-\frac{3}{40}x^{-5}

Arkuskosekans:

\arccsc(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!! x^{-(2k+1)}} {(2k)!! \cdot (2k+1) }

Umkehrfunktion

Arkussekans:

x=\operatorname{sec}\,(y)

Arkuskosekans:

x=\operatorname{csc}\,(y)

Ableitung

Arkussekans:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{arcsec}\,(ax+b) = \frac{a}{|ax+b| \sqrt{(ax+b)^2 - 1}}

Arkuskosekans:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{arccsc}\,(ax+b) = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arcsec}\,(ax+b) = - \frac{a}{|ax+b| \sqrt{(ax+b)^2 - 1}}

Integral

Arkussekans:

\int\operatorname{arcsec}\,(x)\,\mathrm{d}x=x \cdot \operatorname{arcsec}\,(x) -\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)

Arkuskosekans:

\int\operatorname{arccsc}\,(x)\,\mathrm{d}x=x\cdot\operatorname{arccsc}\,(x) +\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)

Umrechnung

\operatorname{arcsec}\,(x)=\operatorname{arccos}\left(\frac{1}{x}\right)
\operatorname{arccsc}\,(x)=\operatorname{arcsin}\left(\frac{1}{x}\right)

Siehe auch

Bild:F of x.svg
Trigonometrische und Arkusfunktionen

Sinus | Kosinus | Tangens | Kotangens | Sekans | Kosekans

Arkussinus | Arkuskosinus | Arkustangens | Arkuskotangens | Arkussekans | Arkuskosekans

 
Wikipedia
 Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort Arkussekans_und_Arkuskosekans, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation.
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