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Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus

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Areasinus Hyperbolicus (abgekürzt arsinh, asinh oder arsh) und Areakosinus Hyperbolicus (abgekürzt arcosh oder arch) gehören zu den Areafunktionen und sind die Umkehrfunktionen von Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Die Funktionen lassen sich durch die folgende Formeln ausdrücken:
Areasinus Hyperbolicus:

{\rm arsinh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1} \right).

Areakosinus Hyperbolicus:

{\rm arcosh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1} \right).

Eigenschaften

Bild:Arcsinh.png
Graph der Funktion arsinh(x)
Bild:Arccosh.png
Graph der Funktion arcosh(x)
  Areasinus Hyperbolicus Areakosinus Hyperbolicus
Definitionsbereich - \infty < x < + \infty 1 \le x < + \infty
Wertebereich - \infty < f(x) < + \infty 0 \le f(x) < + \infty
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend streng monoton steigend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Ursprung keine
Asymptote f(x)\to \pm \ln(2|x|) für x \to \pm \infty f(x)\to \ln(2x) für x \to +\infty
Nullstellen x = 0 x = 1
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine Minimum bei x = 1
Wendepunkte x = 0 keine

Reihenentwicklung

Areasinus Hyperbolicus:

Für |x| < 1 gilt:
{\rm arsinh}(x) = x \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k-1)!!(-x^2)^k}{(2k)!! (2k+1)} = x - \frac{1}{6} x^3 + \frac{3}{40} x^5 - \frac{5}{112} x^7 + \frac{35}{1152} x^9 - \dots
Für |x| > 1 gilt:
{\rm arsinh}(x) = {\rm sgn}(x) \cdot \left[ \ln(2|x|) - \sum_{k=1}^\infty \frac{(2k-1)!!}{2k(2k)!!(-x^2)^k} \right]

Areakosinus Hyperbolicus:

Ableitung

Die Ableitung des Areasinus Hyperbolicus lautet:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\rm arsinh}(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.

Die Ableitung des Areakosinus Hyperbolicus lautet:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\rm arcosh}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}.

Integral

\int \operatorname{arsinh}(x) dx = x \cdot \operatorname{arsinh}(x) - \sqrt{x^2 + 1} + C
\int \operatorname{arcosh}(x) dx = x \cdot \operatorname{arcosh}(x) - \sqrt{x^2 - 1} + C

Siehe auch

Bild:F of x.svg
Hyperbolische und Area-Funktionen

Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus
Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus
Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus
Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus
Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus
Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus

 
Wikipedia
 Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort Areasinus_Hyperbolicus_und_Areakosinus_Hyperbolicus, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation.
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Von „http://www.kefk.org/wiki/Areasinus_Hyperbolicus_und_Areakosinus_Hyperbolicus“
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