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In der Mathematik misst der Kommutator (lat. commutare vertauschen), wie sehr zwei Elemente einer Gruppe oder einer assoziativen Algebra das Kommutativgesetz verletzen.

Inhaltsverzeichnis 1 Kommutatoren in Gruppen 2 Kommutatoren in Algebren 2.1 Eigenschaften 2.2 Anwendung in der Physik 2.3 Antikommutator

Kommutatoren in Gruppen

Der Kommutator zweier Elemente g und h einer Gruppe G ist das Element g⁻¹h⁻¹gh, was häufig auch als [g,h] geschrieben wird. Manchmal wird der Kommutator auch als das Element ghg⁻¹h⁻¹ definiert.

Der Kommutator von g und h ist genau dann gleich dem neutralen Element, wenn g und h kommutieren, d.h. genau dann wenn gh = hg. Die von allen Kommutatoren erzeugte Untergruppe wird Kommutator-Untergruppe von G genannt. Kommutatoren können z.B. benutzt werden, um nilpotente und auflösbare Gruppen zu definieren.

Kommutatoren in Algebren

Kommutatoren werden auch für Ringe und assoziative Algebren definiert. Hier ist der Kommutator [a,b] zweier Elemente a und b definiert als

[a,b] = ab − ba.

Er ist genau dann gleich 0, wenn a und b „kommutieren“ (vertauschen), d.h. wenn ab = ba gilt.

Eigenschaften

Sei a, b und c Elemente einer assoziativen Algebra und λ ein Skalar (Element des Grundkörpers).

1. Alternierend (antisymmetrisch):

   [a,b] = − [b,a]

2. Linear:

   [λa + b,c] = λ[a,c] + [b,c]

3. Jacobi-Identität:

   [a,[b,c]] + [b,[c,a]] + [c,[a,b]] = 0

4. Leibnizregel:

   [a,bc] = [a,b]c + b[a,c]

Aufgrund der Eigenschaften 1, 2 und 3 wird jede assoziative Algebra A mit dem Kommutator als Lie-Klammer zu einer Lie-Algebra, die teilweise mit A ⁻ bezeichnet wird.

Eigenschaft 4 bedeutet, daß die Abbildung eine Derivation ist.

Anwendung in der Physik

Im mathematischen Formalismus der Quantenmechanik werden Observablen mit Hilfe von linearen Operatoren dargestellt. Die linearen Operatoren bilden mit der Komposition eine assoziative Algebra. Der Kommutator ersetzt die Poisson-Klammer der analytischen Mechanik. Gemäß der Heisenbergschen Unschärferelation gibt der Kommutator zweier Operatoren an, mit welcher Unschärfe die entsprechenden Observablen gleichzeitig gemessen werden können. Verschwindet dieser Kommutator, so spricht man von kommutierenden, kompatiblen oder verträglichen Observablen. Die physikalischen Messgrößen, die durch zwei kompatible Observablen beschrieben werden, können an einem System gleichzeitig gemessen werden, das heißt der Ausgang der Messung ist unabhängig von der Reihenfolge der Messung. Außerdem kann die Unschärfe der Messungen beider Observablen beliebig klein werden.

Weiterhin ist es für kommutierende Observablen mit diskretem Spektrum möglich, einen gemeinsamen Satz von Eigenvektoren zu finden.

Antikommutator

Der Antikommutator {a,b} oder [a,b] ₊ ist definiert durch [a,b] ₊ = ab + ba.

Er findet in der Physik bei Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen) Anwendung, wohingegen bei Teilchen mit ganzzahligem Spin (Bosonen) der normale Kommutator gebraucht wird.