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Allgemeine lineare Gruppe

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Allgemeine lineare Gruppe GL(n,K)

berührt die Spezialgebiete

Mathematik
Gruppentheorie
Lie-Gruppen
Physik
Symmetrie
Quantenmechanik
Eichtheorie
Relativitätstheorie
Lorentz-Gruppe
Poincaré-Gruppe

ist Spezialfall von

Gruppe
unendliche Gruppe

umfasst als Spezialfälle

GL(n,R), GL(n,C), GL(n,q)
projektive lineare Gruppe
spezielle lineare Gruppe
symplektische Gruppe
orthogonale Gruppe
spezielle orthogonale Gruppe
unitäre Gruppe
spezielle unitäre Gruppe

Die allgemeine lineare Gruppe GL(n,K) vom Grad n über einem Körper K ist die Gruppe aller invertierbaren n \times n -Matrizen mit Koeffizienten aus K. Gruppenverknüpfung ist die Matrixmultiplikation.

Wenn der Körper K ein endlicher Körper \Bbb F_q mit einem q = pn ist, so schreibt man auch GL(n,q) statt GL(n,K). Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper \R der reellen oder \mathbb{C} der komplexen Zahlen zu Grunde gelegt ist, schreibt man auch GL(n).

Die allgemeine lineare Gruppe und ihre Untergruppen finden Anwendung in der Darstellung von Gruppen sowie in der Untersuchung von Symmetrien.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeine lineare Gruppe über einem Vektorraum

Wenn V ein Vektorraum über einem Körper K ist, schreibt man GL(V) oder Aut(V) für die Gruppe aller Automorphismen von V, also aller bijektiven linearen Abbildungen V \to V , mit der Hintereinanderausführung solcher Abbildungen als Gruppenverknüpfung.

Wenn V die endliche Dimension n hat, sind GL(V) und GL(n,K) isomorph. Allerdings ist dieser Isomorphismus nicht kanonisch bestimmt; er hängt von der Wahl einer Basis von V ab. Für eine gegebene Basis kann jeder Automorphismus von V durch eine invertierbare n \times n -Matrix dargestellt werden, wodurch der Isomorphismus von GL(V) auf GL(n,K) hergestellt wird.

Für n \geq 2 ist die Gruppe GL(n,K) nicht abelsch.

Untergruppen von GL(n,K)

Jede Untergruppe von GL(n,K) wird eine lineare Gruppe genannt. Einige Untergruppen haben besondere Bedeutung.

Die Untergruppe aller diagonalen Matrizen beschreibt Reskalierungen des Raums.

Die spezielle lineare Gruppe SL(n,K) enthält alle Matrizen mit der Determinante 1 . SL(n,K) ist eine normale Untergruppe von GL(n,K); und die Faktorgruppe GL(n,K) / SL(n,K) ist isomorph zu K^\times, der multiplikativen Gruppe von K (ohne die 0).

Die orthogonale Gruppe O(n,K) enthält alle orthogonalen Matrizen, kenntlich an einer Determinante von -1 oder +1. Für K = \mathbb{R} beschreiben diese Matrizen Automorphismen des \mathbb{R}^n mit Erhaltung der Euklidischen Norm und des Skalarprodukts.

Über \mathbb{R} und \mathbb{C}

Die allgemeine lineare Gruppe GL(n) über dem Körper \mathbb{R} oder \mathbb{C} ist eine Lie-Gruppe über dem Körper und hat die Dimension n2.

Beweis:
GL(n) ist eine Untermenge der Mannigfaltigkeit Matn(K) aller n \times n -Matrizen, die ein Vektorraum der Dimension n2 ist. Die Determinante ist eine stetige (sogar polynomiale) Abbildung \mathrm{Mat}_n(K) \ \rightarrow \ K. GL(n) ist als Urbild der offenen Teilmenge K^\times von K eine offene, nicht leere Teilmenge von Matn(K) und hat deshalb die gleiche Dimension.

Die Lie-Algebra zu GL(n) ist die Allgemeine lineare Lie-Algebra gl(n) und sie besteht aus allen n \times n -Matrizen mit dem Kommutator als Lie-Klammer.

Während \mathrm{GL} (n,\mathbb{C}) zusammenhängend ist, hat \mathrm{GL} (n,\mathbb{R}) zwei Zusammenhangskomponenten: die Matrizen mit positiver und die mit negativer Determinante. Die Zusammenhangskomponente mit positiver Determinante enthält das Einselement und bildet eine Untergruppe \mathrm{GL} ^+(n, \mathbb{R} ). Diese Untergruppe ist eine zusammenhängende Lie-Gruppe mit reeller Dimension n2 und hat dieselbe Lie-Algebra wie \mathrm{GL} (n,\mathbb{R}) .

Über endlichen Körpern

Wenn K ein endlicher Körper mit q Elementen ist, dann ist GL(n,K) eine endliche Gruppe der Ordnung

\prod_{i=0}^{n-1}(q^n-q^i)= (q^n-1 )\cdot (q ^n -q) \cdot (q^n -q^2) \cdot \dots \cdot (q^n -q^{n-1})

Dieser Wert kann beispielsweise durch Abzählen der Möglichkeiten für die Matrixspalten ermittelt werden: Für die erste Spalte gibt es qn − 1 Belegungsmöglichkeiten (alle außer der Nullspalte), für die zweite Spalte gibt es qn − q Möglichkeiten (alle außer den Vielfachen der ersten Spalte), etc.

Projektive lineare Gruppe

Die projektive lineare Gruppe PGL(V) über einem Vektorraum V über einem Körper K ist die Faktorgruppe \mathrm{GL} (V) /K^\times , wobei K^\times die normale Untergruppe der skalaren Vielfachen k \cdot \mathrm{id}_V der Identität \mathrm{id}: V \rightarrow V ist mit k aus K \setminus \{0\} . Die Bezeichnungen PGL(n,K) usw. entsprechen denen der allgemeinen linearen Gruppe. Wenn K ein endlicher Körper ist, sind PGL(n,K) und SL(n,K) gleichmächtig, aber im allgemeinen nicht isomorph.

Der Name stammt aus der projektiven Geometrie, wo das Analogon zur allgemeinen linearen Gruppe die projektive lineare Gruppe ist, zum n-dimensionalen projektiven Raum über K gehört dabei die Gruppe PGL(n + 1,K). Dies ist eine Verallgemeinerung der Gruppe der Möbius-Transformationen, der PGL2 .

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