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Affinität (Mathematik)

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In der Geometrie wird der Begriff Affinität für eine Ähnlichkeit ohne Winkeltreue verwendet (Spezialfall einer affinen Abbildung).

Eine affine Abbildung ist eine Abbildung, bei der die Punkte, Geraden und Ebenen des Raumes wiederum Punkten, Geraden und Ebenen zugeordnet werden. Erhalten bleibt das Teilverhältnis von 3 Punkten auf einer Geraden. Jedoch verändern sich meist die Längen und die Größen der Winkel und damit die Flächen- und Rauminhalte.

Eine Affinität ist eine affine Selbstabbildung (von einem affinen Raum der Dimension n in den Raum selbst) der Form

\alpha: \vec x' = {A_n} \cdot \vec x + \vec c

mit \det(A_{n}) \neq 0 , d.h. die Abbildung ist bijektiv.

Inhaltsverzeichnis

Klassifizierung von Affinitäten

Radiale Affinitäten

Eine Affinität heißt radiale/zentrische Affinität, wenn sie genau einen Fixpunkt besitzt, dies ist äquivalent mit \mathrm{rang} (A_n - E_n) = \mathrm{rang} (A_n - E_n, \vec c) = n.

(zu rang(f) siehe Rang)

Perspektive Affinitäten

Eine Affinität heißt perspektive Affinität, wenn sie genau eine Fixpunkthyperebene besitzt, was äquivalent mit \mathrm{rang}(A_n - E_n) = \mathrm{rang} (A_n - E_n, \vec c) = 1 ist.

Eine perspektive Affinität heißt Parallelstreckung, wenn sie neben dem Eigenwert λ1 = e noch einen Eigenwert \lambda_2 \in K \setminus \lbrace 0 \rbrace besitzt.

Eine Parallelstreckung mit λ2 = − e heißt Affinspiegelung.

Eine perspektive Affinität heißt Scherung, wenn sie nur den Eigenwert λ1 = e besitzt.

Homothetien

Eine Affinität mit

A_n = k \cdot E_n mit k \in K \setminus \lbrace 0 \rbrace (K ist ein Körper) heißt Homothetie.

Falls außerdem

Unimodularität

Eine Affinität heißt unimodular, wenn \det(A_n) = \pm e .

Sie ist eigentlich unimodular, wenn det(An) = e.

Inhaltstreue

Ist der zugrunde liegende Körper angeordnet, so ist eine Affinität inhaltstreu, wenn \det(A_n) = \pm 1 .

Sie ist gleichsinnig, wenn det(An) > 0.

Eigenschaften allgemeiner Affinitäten

Affinitäten besitzen eine Reihe von Eigenschaften, die bei Konstruktionen ausgenutzt werden können.

Geradentreue

Das Bild einer Geraden unter einer Affinität ist wieder eine Gerade.

Parallelentreue

Das Bild p' einer Parallelen p zu einer Geraden g ist eine Parallele zu g' (dem Bild von g).

Eigenschaften perspektiver Affinitäten

Geraden durch Punkt und Bildpunkt sind Fixgeraden

Eine Gerade \overline{PP'}, durch einen Punkt P und seinen Bildpunkt P' ist eine Fixgerade. Dies lässt sich mit Hilfe der Fixpunktgerade a der perspektiven Affinität zeigen:

  • Wenn \overline{PP'} die Fixpunktgerade a in einem Punkt Pa schneidet, so ist das Bild von \overline{PP_a} aufgrund der Geradentreue die Gerade \overline{P_aP'}. Diese fällt aber mit \overline{PP'} zusammen.
  • Wenn \overline{PP'} parallel zu a ist, dann ist das Bild von \overline{PP'} aufgrund der Parallelentreue eine Parallele zu a durch P', da das Bild von a gleich a selbst ist. Diese Parallele fällt aber mit \overline{PP'} zusammen.


Parallelen von Fixgeraden sind wieder Fixgeraden

Bild:Parallelen von Fixgeraden.png
Parallelen von Fixgeraden sind wieder Fixgeraden

Das Bild p' einer Parallelen p zu einer Fixgeraden f ist selbst wieder eine Fixgerade. Die Aussage folgt aus der Parallelen- und Teilverhältnistreue:

  • Da f und p parallel sind, muss auch f = f' und p' parallel sein. Aus der Transitivität der Parallelität folgt, dass dann auch p und p' parallel sein müssen.
  • Wähle einen Punkt A auf der Affinitätsachse a und einen Punkt X auf f.
  • Da f und p parallel sind, schneidet die Verbindungsgerade \overline{AX} auch p in einem Punkt P.
  • Da f eine Fixgerade ist, liegt das Bild X' von X auf f und das Bild von \overline{AX} ist gleich \overline{AX'}.
  • Über die Verhältnistreue folgt, dass \left|AX\right| zu \left|AP\right| wie \left|AX'\right| zu \left|AP'\right|.
  • Mit der Umkehrung des ersten Strahlensatzes ergibt sich, dass dann P' auf einer Parallele zu f durch P (also auf p) liegen muss. Da p und p' parallel sind und den Punkt P' gemeinsam haben, müssen sie identisch sein.

Konstruktionen

Bildpunkt unter einer perspektiven Affinität

Bild:Konstruktion Perspektive Affinität.png
Konstruktion des Bildpunktes Q' von Q unter einer perspektiven Affinität.

Gegeben sei eine perspektive Affinität über ihre Fixpunktgerade a und das Punkt/Bildpunkt-Paar P, P'. Das Bild eines beliebigen Punktes Q lässt sich damit wie folgt konstruieren:

  • Wählen Sie einen beliebigen Punkt A auf der Fixpunktgeraden a.
  • Zeichne die Verbindungsgerade \overline{PA}.
  • Das Bild von \overline{PA} ist aufgrund der Geradentreue der Abbildung wieder eine Gerade. Das Bild von A ist A selbst, da A auf der Fixgeraden a liegt. Damit ist das Bild von \overline{PA} die Gerade \overline{AP'}.
  • Zeichne eine Parallele zu \overline{PA} durch Q. Diese schneidet a in einem Punkt A'. Aufgrund der Parallelentreue der Abbildung ist das Bild von \overline{QA'} eine Parallele zu \overline{AP'} durch den Punkt A'. Der gesucht Punkt Q' liegt auf dieser Parallelgeraden.
  • Zeichne die Gerade \overline{PQ}. Sie schneidet a in einem Punkt S (ist das nicht der Fall, ist eine Sonderbehandlung notwendig). Das Bild dieser Geraden ist \overline{SP'}. Der gesuchte Punkt Q' liegt ebenfalls auf dieser Geraden und ist daher der Schnittpunkt von \overline{SP'} und der Parallele von \overline{AP'} durch \overline{A'}.

Eine andere Möglichkeit der Konstruktion spart den Hilfspunkt A ein und nutzt die Eigenschaft aus, dass Geraden durch Punkt und Bildpunkt Fixgeraden sind:

  • Zeichne die Gerade \overline{PP'}. Da es sich um eine Gerade durch Punkt und Bildpunkt handelt, ist das Bild dieser Geraden die Gerade selbst.
  • Zeichne eine Parallele \overline{QQ_a} zu \overline{PP'} durch Q. Sie schneidet die Fixgerade a in Qa.
  • Das Bild von \overline{QQ_a} ist \overline{QQ_a} selbst:
  • Geradentreue: Da \overline{QQ_a} parallel zu \overline{PP'}, verläuft das Bild von \overline{QQ_a} parallel zum Bild von \overline{PP'}.
  • \overline{PP'} ist eine Fixgerade: Das Bild von \overline{PP'} ist \overline{PP'} selbst. Daraus folgt, dass das Bild von \overline{QQ_a} parallel zu sich selbst ist.
  • Da der Punkt Qa teil der Fixpunktgeraden a ist, ist das Bild von Qa gleich Qa selbst.
  • Da das Bild von \overline{QQ_a} durch Qa verläuft und parallel zu sich selbst ist, kann es nur \overline{QQ_a} selbst sein.
  • Damit ist Q' Teil von \overline{QQ_a}.
  • Mit der Überlegung der ersten Konstruktion liegt damit Q' auf dem Schnittpunkt von \overline{QQ_a} und \overline{SP'} (mit dem Schnittpunkt S von \overline{PQ} und a).

Siehe auch

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