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Affine Ebene

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Eine affine Ebene ist in der Geometrie eine Punkte und Geraden umfassende Inzidenzstruktur, die im wesentlichen durch zwei Forderungen, nämlich dass je zwei Punkte eine (eindeutige) Verbindungsgerade besitzen und dass es parallele Geraden gibt, charakterisiert ist.

Definition

Eine Inzidenzstruktur $\langle P,\mathcal L,\mathbf F\rangle$ , die aus einem Punktraum $P$ , einem Geradenraum $\mathcal{L}$ und einer Inzidenzrelation zwischen diesen besteht, affine Ebene genau dann, wenn

je zwei Punkte aus $P$ auf genau einer Geraden aus $\mathcal{L}$ liegen,
das Parallelenpostulat gilt, d.h. wenn es zu jeder Geraden $L\in\mathcal{L}$ und zu jedem Punkt $p\in P$ , der nicht auf $L$ liegt, genau eine weitere Gerade $K\in\mathcal{L}$ gibt, die $p$ enthält und sich nicht mit $L$ schneidet,
es ein Dreieck gibt, d.h. drei verschiedene Punkte aus $P$ , die nicht alle auf einer Geraden aus $\mathcal{L}$ liegen.

Beispiele

Bild:4punktsmodell.svg

Der zweidimensionale Vektorraum $\mathbb R^2$ über den reellen Zahlen, wobei $P=\mathbb R^2$ gilt, $\mathcal L$ alle eindimensionalen affinen Unterräume umfaßt und die Inzidenzrelation durch die Enthaltensrelation $\in$ gegeben ist.
Ebenso der zweidimensionale Vektorraum $K 2$ über einem beliebigen Körper (oder auch: Schiefkörper) $K$
Im Fall $K=\mathbb F_2$ erhält man die kleinste affine Ebene, die aus aus vier Punkten besteht.