Adiabatische Zustandsänderung

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Die adiabatische Zustandsänderung (auch isentrope Zustandsänderung) ist in der Thermodynamik eine Änderung des Zustandes eines thermodynamischen Systems, bei dem mit der Umgebung keine Wärmeenergie ausgetauscht wird.

Daraus lässt sich die adiabatische Zustandsgleichung ableiten. Eine adiabatische Zustandsänderung kann erreicht werden, wenn der Behälter, in dem die Verdichtung oder Ausdehnung stattfindet, sehr gut isoliert ist oder die Zustandsänderung sehr schnell verläuft. Auch kann man näherungsweise von einer adiabaten Zustandsänderung sprechen, wenn das Volumen des Systems sehr hoch ist. Es handelt sich dabei in der Realität praktisch immer um zumindest partiell diabate Prozesse. Eine weitere Einschränkung durch die Realität ist, daß dabei auch keine Zustandsänderungen erfolgen, dazu zählen z.B.

die feuchtadiabatische Zustandsänderung, wo bei Temperaturabfall Wasser ausfällt,
das Einfrieren von Freiheitsgraden, das die freie Weglänge groß gegen die Volumenabmessungen wird,
das Verflüssigen der Gase
die Strahlungsabsorption bzw. -emission, wenn die Absorptionslänge kleiner als die Volumenabmessungen wird.

Bild:Adiabate isotherme.png

Vergleich von Adiabate und Isotherme im pV-Diagramm

Nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik ( $d U = δ Q + δ W$ ) folgt aufgrund von $δ Q = 0$ (kein Wärmeaustausch), dass die gesamte verrichtete Arbeit direkt in die innere Energie übergeht ( $δ W = d U$ ).

Im Falle eines idealen Gases gilt für die innere Energie:

$U = N {f \over 2} k_B T = {N \over \kappa - 1} k_B T = {{N \over N_A} \over \kappa - 1} N_A k_B T = {n R \over \kappa - 1} T$ .

Hierbei bezeichnen N die Anzahl der Gasteilchen, f die Anzahl der nicht eingefrorenen Freiheitsgrade, $k B$ die Boltzmann-Konstante, T die absolute Temperatur, $κ$ den Adiabatenexponenten, n die Stoffmenge (in Mol), N_A die Avogadrozahl und R die allgemeine Gaskonstante.

Damit gilt für die bei einer adiabatischen Zustandsänderung geleistete Arbeit:

$W = {- n R \over \kappa - 1} \left(T_1 - T_2\right) = {- p_1 V_1 \over \kappa - 1} \left(1 - {T_2 \over T_1}\right)$

$= {- p_1 V_1 \over \kappa - 1} \left[ 1 - \left({V_1 \over V_2}\right)^{\kappa - 1} \right] = - n c_v \left(T_1 - T_2\right)$ .

Hierbei bezeichnen $T 1,2$ und $V 1,2$ Anfangs- bzw. Endtemperaturen und -volumina, und $c v$ die molare spezifische Wärme bei konstantem Volumen.

Daraus ergibt sich auch, dass je höher die Temperaturdifferenz $T 1 - T 2$ , desto größer die entsprechende Arbeit sein muss. Dies hat unter anderen den adiabatischen Temperaturgradienten der unteren Erdatmosphäre zur Folge.

Aus der Zustandsgleichung eines idealen Gases folgen diese Zusammenhänge:

$p_1 V_1^{\kappa} = p_2 V_2^{\kappa}$

${T_1 \over T_2} = \left({V_2 \over V_1} \right)^{\kappa - 1}$

${T_1 \over T_2} = \left({p_1 \over p_2} \right)^{ \kappa -1 \over \kappa}$

Diese drei Gleichungen werden auch Poissonsche Gleichungen genannt.

Da bei diesen Zustandsänderungen die Masse des Gasvolumens konstant bleibt, ist auch die Umformung auf die Änderung der Dichte einfach berechenbar:

${\rho}_1 = {\rho}_2 \left( \frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}$

Adiabatische Zustandsgleichung

In einem geschlossenen System können diverse Energieumwandlungen stattfinden.

Der Einfachheit halber beschränkt man sich auf die drei Einflußgrößen

Aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik

$\frac{dU}{dt} = \frac{\delta Q}{\delta t} + \frac{\delta W}{\delta t}$ ,

einem Energieerhaltungssatz, folgt:

Wenn $\frac{\delta Q}{\delta t} = 0$ gilt, also kein Wärmeaustausch stattfindet, geht die gesamte verrichtete Arbeit direkt in die innere Energie über:

$\frac{\delta W}{\delta t} = \frac{dU}{dt}$

Im Falle eines idealen Gases gilt für die bei einer adiabaten Zustandsänderung geleistete Arbeit:

$W = {- n R \over \kappa - 1} \left(T_1 - T_2\right) = {- p_1 V_1 \over \kappa - 1} \left(1 - {T_2 \over T_1}\right)$

$= {- p_1 V_1 \over \kappa - 1} \left[ 1 - \left({V_1 \over V_2}\right)^{\kappa - 1} \right] = - n c_v \left(T_1 - T_2\right)$ .

Hierbei bezeichnen n die Stoffmenge (in Mol), R die allgemeine Gaskonstante, $κ$ den Adiabatenexponenten, $T 1,2$ und $V 1,2$ Anfangs- bzw. Endtemperaturen und -volumina, und $c v$ die molare spezifische Wärme bei konstantem Volumen.

Daraus ergibt sich auch, dass, je höher die Temperaturdifferenz $T 1 - T 2$ ist, desto größer die entsprechende Arbeit sein muss.

Dies hat unter anderen den adiabatischen Temperaturgradienten der unteren Erdatmosphäre zur Folge.

Aus der Zustandsgleichung eines idealen Gases folgen diese Zusammenhänge:

$p_1 V_1^{\kappa} = p_2 V_2^{\kappa}$

${T_1 \over T_2} = \left({V_2 \over V_1} \right)^{\kappa - 1}$

${T_1 \over T_2} = \left({p_1 \over p_2} \right)^{ \kappa -1 \over \kappa}$

Diese drei Gleichungen werden auch Poissonsche Gleichungen genannt.

Siehe auch

Weblinks

Lern-Modul zu adiabatischen Prozessen in der Atmosphäre

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