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Abzählbarkeit

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Eine Menge A bezeichnet man als abzählbar unendlich, wenn sie die gleiche Mächtigkeit hat wie die Menge der natürlichen Zahlen \mathbb{N}. Zu den höchstens abzählbaren zählen auch kleinere, also endliche Mengen. Der Begriff abzählbar kann beides bedeuten und muss von Fall zu Fall definiert werden. In diesem Artikel bedeutet er abzählbar unendlich.

In diesem Sinne bedeutet die Abzählbarkeit der Menge A, dass es eine Bijektion von den natürlichen Zahlen auf die Menge gibt, das heißt, dass die Menge durchnummeriert werden kann.

Inhaltsverzeichnis

Beispiele abzählbar unendlicher Mengen

Natürliche Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen \mathbb{N} ist per Definition abzählbar, da sie dieselbe Mächtigkeit wie sie selbst besitzt.

Primzahlen

Die Menge der Primzahlen \mathbb{P} ist ebenfalls abzählbar, da es unendlich viele gibt und diese durchnummeriert werden können.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 …
f(n) 2 3 5 7 11 13 17 19 …

Ganze Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen \mathbb{Z} ist abzählbar unendlich, eine Abzählung ist beispielsweise gegeben durch

n 1 2 3 4 5 6 7 8 …
f(n) 0 1 −1 2 −2 3 −3 4 …

Die Beispiele Primzahlen und ganze Zahlen zeigen, dass sowohl echte Teilmengen als auch Obermengen dieselbe Mächtigkeit besitzen können, im Gegensatz zu endlichen Mengen.

Paare natürlicher Zahlen

Auch die Menge aller Paare (i,j)\in\mathbb{N} \times \mathbb{N} von zwei natürlichen Zahlen ist abzählbar unendlich.

Die Unendlichkeit ist wiederum offensichtlich. Schwieriger ist die Frage der Abzählbarkeit. Dafür nutzt man die Cantorsche Paarungsfunktion, die jedem Zahlenpaar (i,j) bijektiv eine natürliche Zahl k zuordnet. Damit kann man alle Zahlenpaare eindeutig nummerieren und somit abzählen.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
f(n) 1,1 1,2 2,1 1,3 2,2 3,1 1,4 2,3 3,2 4,1 …

n-Tupel natürlicher Zahlen

Die Menge aller n-Tupel (i_1, i_2, \ldots, i_n) natürlicher Zahlen \mathbb{N}^n ist ebenfalls abzählbar unendlich. Das zeigt man wiederum durch Anwendung der Cantorsche Paarungsfunktion.

Rationale Zahlen

Georg Cantor zeigte mit der so genannten Cantor-Diagonalisierung, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist, ebenso jede Menge der Gestalt \mathbb{Z}^n (Tupel ganzer Zahlen). Darüber hinaus existiert noch die Quantoralsymmetrie.

Die Abbildung \mathbb{N}_0^3\rightarrow\mathbb{Q}, (i, j, k)\mapsto {{i-j} \over {1 + k}} ist surjektiv, also ist die Mächtigkeit von \mathbb{Q} höchstens so groß wie die von \mathbb{N}_0^3. Da es einerseits unendlich viele Brüche gibt, und andererseits die Menge \mathbb{N}_0^3 abzählbar unendlich ist, ist auch \mathbb{Q} abzählbar unendlich.

Algebraische Zahlen

Es sei P sein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, P(x) = a0 + ... + anxn. Die Höhe von P sei definiert als h(P) = | a0 | + ... + | an | + n. Zu jeder vorgegebenen Höhe > 0 gibt es nur endlich viele Polynome, welche wiederrum nur endlich viele Nullstellen besitzen. Die Vereinigung \bigcup_{n=1} \left\{ x \, \big|\, x\;\right. ist Nullstelle eines ganzzahligen Polynoms P mit \left. h(P)=n\, \right\} ist gerade die Menge der algebraischen Zahlen \mathbb{A}. Als abzählbare Vereinigung endlicher Mengen ist \mathbb{A} daher abzählbar.

Wörter über einem Alphabet

Durch die Anwendung der sogenannten Standardnummerierung über das Alphabet Σ kann man auch die Wörter einer Sprache im Sinne der Mathematik abzählen.

Berechenbare Zahlenfunktionen

Die Menge aller berechenbaren Zahlenfunktionen ist abzählbar unendlich. Man kann eine Standardnummerierung aller denkbaren Bandprogramme angeben. Da die Menge der Bandprogramme größer als die Menge der berechenbaren Funktionen ist (es könnte ja zwei unterschiedliche Programme geben, die dieselbe Funktion berechnen), sind damit die Zahlenfunktionen abzählbar unendlich.

Beispiel einer überabzählbaren unendlichen Menge

Die Menge der reellen Zahlen ist dagegen überabzählbar. Das bedeutet, dass es keine bijektive Abbildung gibt, die jede reelle Zahl auf je eine natürliche Zahl abbildet, siehe Kontinuumshypothese.

Eigenschaften

Siehe auch

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