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Absolute Stetigkeit
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Absolute Stetigkeit reeller Funktionen
In der Mathematik heißt eine reellwertige Funktion f absolut stetig, falls für jede Zahl 
eine Zahl δ > 0 existiert, welche klein genug ist, so dass für jede Folge paarweise disjunkter Intervalle ![[x_k,y_k],\ k= 1,\ldots,n](/w/images/math/e/5/f/e5f62b66d1d9617cece9f03ec066df30.png)
, die der Bedingung
genügen, die folgende Beziehung gilt:
.
Jede absolut stetige Funktion ist gleichmäßig stetig und damit insbesondere stetig. Andererseits ist jede Lipschitz-stetige Funktion auch absolut stetig.
Die Cantor-Lebesgue-Funktion ist ein Beispiel für eine überall stetige, aber nicht absolut stetige Funktion.
Absolut stetige Funktionen sind fast überall differenzierbar und diese Ableitung stimmt mit der schwachen Ableitung überein.
Absolute Stetigkeit von Maßen
Sind μ und ν Maße auf der σ-Algebra 
, so bezeichnet man μ als absolut stetig (oder kurz: stetig) bezüglich ν, falls für alle 
gilt:
.
Man schreibt kurz 
und spricht auch alternativ davon, dass ν das Maß μ dominiert.
Ein Maß μ ist genau dann absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Maßes auf den Borel-Mengen der reellen Zahlen, wenn
![F(x)=\mu((-\infty,x])](/w/images/math/4/c/a/4ca81f38935fe50d452987187f20837f.png)
eine absolut stetige reelle Funktion ist.
Anwendungsbereiche
- In der Theorie der optimalen Steuerungen wird bislang gefordert, dass die Lösungstrajektorien absolut stetig sind.
- Der Satz von Radon-Nikodym besagt, dass, falls μ absolut stetig bezüglich ν ist und ν σ-endlich ist, dann μ eine Dichtefunktion, manchmal auch Radon-Nikodym-Ableitung genannt, bezüglich ν besitzt, d.h. es gibt eine messbare Funktion f in
![[0,\infty]](/w/images/math/3/1/5/315e0047ccbfa87354192dac2fe986fb.png)
, die wir mit 
bezeichnen, so dass für jede messbare Menge A gilt:
.
Dieser Zusammenhang ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie von fundamentaler Bedeutung.
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