Abhängigkeitslemma

Aus Kefk.

Das Abhängigkeitslemma ist ein Lemma der Linearen Algebra, das folgendes besagt:

Es seien $\vec v_1 ,...,\vec v_n$ linear unabhängig. Sind $\vec x,v_1 ,...,\vec v_n$ linear abhängig, so ist $\vec x$ eine Linearkombination von $\vec v_1 ,...,\vec v_n$ .

Beweis

Da $\vec x,v_1 ,...,\vec v_n$ linear abhängig sind, gibt es eine Linearkombination

$\alpha_0\vec x + \alpha_1\vec v_1 + ...+ \alpha_n\vec v_n = 0$

Wäre $α 0 = 0$ , so hätte man $\alpha_1\vec v_1 + ...+ \alpha_n\vec v_n = 0$ und somit einen Widerspruch zur Annahme, dass $\vec v_1 ,...,\vec v_n$ linear unabhängig sind. Also ist $\alpha_0\not=0$ , und damit