Das Kefk Network Wiki befindet sich im Testbetrieb.

Abelsche Kategorie

Aus Kefk.

Wechseln zu: Navigation, Suche

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra und angrenzenden Gebieten versteht man unter einer abelschen Kategorie eine Kategorie, die sich in einigen wesentlichen Aspekten wie die Kategorie der abelschen Gruppen verhält.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Es sei \mathcal C eine Kategorie zusammen mit der Struktur einer abelschen Gruppe auf jeder Morphismenmenge \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y) für Objekte X,Y\in\operatorname{Ob}\mathcal C, so dass die Komposition von Morphismen biadditiv ist. \mathcal C ist eine abelsche Kategorie, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  • Es gibt ein Nullobjekt.
  • Es gibt Biprodukte, d.h. zu je zwei Objekten X1,X2 gibt es ein Objekt X_1\oplus X_2 zusammen mit Morphismen p_\nu\colon X_1\oplus X_2\to X_\nu und i_\nu\colon X_\nu\to X_1\oplus X_2 für ν = 1,2, so dass
p_\nu\circ i_\nu=\operatorname{id}_{X_\nu} und i_1p_1+i_2p_2=\operatorname{id}_{X_1\oplus X_2}
gilt. (Das Biprodukt ist kanonisch isomorph zu Produkt und Koprodukt.)

Bedeutung

Abelsche Kategorien sind ein wichtiges Werkzeug, um Aussagen über abelsche Gruppen zu verallgemeinern; so gelten beispielsweise das Fünferlemma oder das Schlangenlemma in jeder abelschen Kategorie. Abelsche Kategorien sind auch der natürliche Kontext für die homologische Algebra.

Eigenschaften

  • Ein Morphismus ist genau dann ein Isomorphismus, wenn er ein Monomorphismus und ein Epimorphismus ist.
  • Jeder Morphismus besitzt eine im wesentlichen eindeutige Faktorisierung i\circ p in einen Epimorphismus p und einen Monomorphismus i.
  • Die Homomorphie- und Isomorphiesätze gelten.

Beispiele

Einbettungssätze

Die enge Verwandtschaft zu den abelschen Gruppen geht so weit, dass man Objekte einer abelschen Kategorie mithilfe eines geeigneten Funktors als spezielle abelsche Gruppen auffassen kann:

  • Für jede kleine abelsche Kategorie \mathcal C gibt es einen exakten treuen Funktor \mathcal C\to\mathbf{Ab}.
  • Für jede kleine abelsche Kategorie \mathcal C gibt es einen Ring A und einen volltreuen exakten Funktor von \mathcal C in die Kategorie der A-Moduln.

Geschichte

Erste Ansätze zur Definition des Begriffes "abelsche Kategorie" stammen von S. Eilenberg und S. Mac Lane aus den frühen 50er Jahren. Der Durchbruch gelang jedoch erst mit A. Grothendiecks epochemachendem Artikel Sur quelques points d'algèbre homologique aus dem Jahre 1957.

Literatur

  • A. Grothendieck, Sur quelques points d'algèbre homologique. Tohôku Math. J., II. Ser. 9, 119–221 (1957).
  • S. Mac Lane, Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag, New York 1971.
Wikipedia
 Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort Abelsche_Kategorie, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation.
Von „http://www.kefk.org/wiki/Abelsche_Kategorie“
Persönliche Werkzeuge
Andere Sprachen