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Eine σ-Algebra ist ein Grundbegriff der Maßtheorie. Als solcher wird sie auch in der Stochastik häufig verwendet. Eine σ-Algebra ist eine mengentheoretische Struktur, sie bezeichnet ein Mengensystem auf einer festen Grundmenge, das vor allem stabil gegenüber der Vereinigung abzählbar vieler Teilmengen ist.

Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Bedeutung 4 σ-Operator 5 Literatur 6 Siehe auch

Definition

Als σ-(Mengen-)Algebra (auch Sigmakörper oder Borelscher Mengenkörper) über einer Menge Ω (in der Stochastik: Ergebnismenge) bezeichnet man in der Mathematik ein Mengensystem (in der Stochastik das Ereignissystem), eine Menge Σ („Sigma“) von Teilmengen von Ω („Omega“), welche die folgenden Bedingungen erfüllt:

1.   (Σ enthält Ω; Alternative: Σ enthält die leere Menge)
2. Für gilt auch (wenn Σ eine bestimmte Teilmenge S von Ω enthält, dann auch deren Komplement )
3. Wenn Σ zwei oder mehr Teilmengen von Ω enthält, dann enthält Σ auch deren Vereinigungsmenge; dies gilt auch für eine Folge von abzählbar unendlich vielen Teilmengen.

Aus den Bedingungen 1 und 2 folgt, dass Σ immer Ω und die leere Menge enthält. Ferner ist jede σ-Algebra ein Dynkin-System. Sie ist abgeschlossen gegen Mengendifferenz und Durchschnitt.

Beispiele

• Für jede beliebige Menge Ω ist die kleinste und die Potenzmenge die größte mögliche σ-Algebra.
• Für jeden topologischen Raum Ω existiert die σ-Algebra der Borelschen Teilmengen von Ω, die unter anderem alle offenen und abgeschlossenen Teilmengen von Ω beinhaltet.
• Die σ-Algebra der Borelschen Teilmengen der reellen Zahlen enthält unter anderem alle Intervalle.

Bedeutung

σ-Algebren bilden den Ausgangspunkt für die Definition des Maßraums und des Wahrscheinlichkeitsraums. Das Banach-Tarski-Paradoxon demonstriert, dass auf überabzählbaren Mengen die Potenzmenge als Grundlage für die Volumenbestimmung zu groß sein kann, der Begriff der σ-Algebra also mathematisch notwendig ist. In der Theorie der stochastischen Prozesse, insbesondere in der stochastischen Finanzmathematik, wird die bis zu einem Zeitpunkt prinzipiell beobachtbare Information durch eine σ-Algebra beschrieben, was zum Begriff der Filtrierung, also einer zeitlich aufsteigenden Familie von σ-Algebren führt. Filtrierungen sind essentiell für die allgemeine Theorie der stochastischen Integration; Integranden (also finanzmathematische Handelsstrategien) dürfen zu einer Zeit t nur von den Informationen bis (ausschließlich) t abhängen; insbesondere dürfen sie nicht „in die Zukunft schauen“.

σ-Operator

Für eine beliebige Teilmenge M der Potenzmenge ist der σ-Operator definiert als

, wobei

Da die Schnittmenge einer Familie von σ-Algebren (über derselben Grundmenge Ω) wieder eine σ-Algebra ist, ist σ(M) somit die kleinste σ-Algebra, die M umfasst.

Der σ-Operator erfüllt die fundamentalen Eigenschaften eines Hüllenoperators, d.h.

• Ist M selbst schon eine σ-Algebra, so ist σ(M) = M (mit anderen Worten: der σ-Operator ist idempotent)
• gilt , so ist auch (Extensionalität)

σ(M) wird als die von M erzeugte σ-Algebra bezeichnet, M heißt Erzeuger dieser σ-Algebra.

Sind Funktionen von Ω in Messräume , so ist

die kleinste σ-Algebra über Ω, bezüglich derer die f_i messbar sind. Sie wird als die von erzeugte σ-Algebra bezeichnet. Entsprechendes gilt für beliebige Indexmengen I statt .

Literatur

Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie, Walter de Gruyter, Berlin - New York 1992, ISBN 3-11-013626-0

Siehe auch

• Borelsche σ-Algebra
• Messbarer Raum

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