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Äquivalenz von Masse und Energie

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Die Äquivalenz von Masse und Energie ist ein wichtiges Ergebnis der Physik, welches erstmals im Jahre 1900 von dem französischen Mathematiker Henri Poincaré und 5 Jahre später von Friedrich Hasenöhrl und Albert Einstein gefunden wurde. Sie steht in direktem Zusammenhang mit der speziellen Relativitätstheorie und wurde von Albert Einstein in seiner kurzen Arbeit „Ist die Trägheit eines Körpers von dessen Energieinhalt abhängig?“ zu seiner ursprünglichen Formulierung der Theorie hinzugefügt.

Das Prinzip besagt, dass die Masse eines Körpers einer Energiemenge entspricht, dass also Masse und Energie in Wirklichkeit zwei Zustandsformen der selben Sache sind. Dies führt dazu, dass der Energieerhaltungssatz derart umformuliert werden kann, dass Masse und Energie in einem abgeschlossenen System erhalten sind; Masse und Energie bleiben nicht unabhängig voneinander erhalten, da sie ineinander umgewandelt werden können.

Inhaltsverzeichnis

1 Formeln
2 Diskussion
3 Herleitung
- 3.1 Äquivalenz von Masse und Energie
- 3.2 Energie-Impuls-Beziehung
  - 3.2.1 Folgerung für Photonen
4 Literatur
5 Beispiel
6 Weblinks

Formeln

Äquivalenz von Masse und Energie

Die Äquivalenz von Masse und Energie ist gegeben durch

E = γ m 0 c 2 = m c 2

wobei $γ$ der Lorentzfaktor, $m 0$ die Masse im ruhenden Bezugssystem, m die relativistische Masse und c die Lichtgeschwindigkeit ist. Hierbei ist zu beachten, dass der Begriff der relativistischen Masse heute nur noch als Kurzschreibweise verwendet und nicht mehr als physikalische Masse interpretiert wird.

Für ein ruhendes Objekt gilt hingegen

E 0 = m 0 c 2

da hier $γ = 1$ ist.

kinetische Energie

Die kinetische Energie ergibt sich zu

T = (γ - 1) m 0 c 2

was gerade der Differenz der relativistischen Gesamtenergie und Ruheenergie entspricht. Nähert sich die Geschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit, steigt die kinetische Energie ins Unendliche an, sodass kein massebehafteter Körper die Lichtgeschwindigkeit erreichen kann.

Energie-Impuls-Beziehung

Weiter definiert man die sogenannte Energie-Impuls-Beziehung. Diese lautet

(m c 2) 2 = (m 0 c 2) 2 + (p c) 2

oder

$E^2 = E_0^2 + (pc)^2$ ,

wobei p der relativistische Impuls ist.

Für masselose Teilchen, wie etwa Photonen, wird daraus

E = p c

woraus auch folgt, dass Photonen einen Impuls tragen.

Diskussion

Diese an sich simple Beziehung bringt das Verständnis vieler Vorgänge in der Natur mit sich. So ist beispielsweise die abgestrahlte Energie der Sonne nichts anderes als diejenige Masse, welche bei den Kernfusionsprozessen in ihrem Innern in Energie umgewandelt wird. Da die Sonne eine Leistung von Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\odot): L_\odot=3{,}86\cdot10^{26} W

abgibt, wird sie pro Sekunde um etwa 4,2 Millionen Tonnen leichter. Aufgrund ihrer enormen Masse spürt sie diesen Verlust jedoch nicht.

Die Äquivalenz von Masse und Energie findet sich in sehr vielen Bereichen der Natur. Virtuelle Teilchen, die im Vakuum entstehen und innerhalb der heisenberg'schen Unschärfe existieren, leihen sich ihre Energie aus dem Vakuum, um für kurze Augenblicke zu existieren und sich anschließend wieder gegenseitig zu vernichten. Überhaupt spielt die Umwandlung von Masse in Energie und umgekehrt in der Elementarteilchenphysik eine fundamentale Rolle. In Teilchenbeschleunigern, wie etwa am CERN, werden Teilchen mit ultra relativistischen Geschwindigkeiten, d.h. Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit, aufeinander geschossen und zur Kollision gebracht. Die hohen kinetischen Energien werden bei der Kollision in neue Teilchen umgewandelt, die dann von den Detektoren beobachtet werden.

In der Astrophysik finden sich neben den Sternen noch andere Gebilde, die eine Umwandlung von Masse in Energie herbeiführen. In den Akkretionsscheiben um aktive Galaxienkerne herum ist die Materie so heiß und dicht, dass sie beim Einfall in das schwarze Loch aufgrund der Reibung so stark erhitzt, dass sie zu einem großen Teil in Energie umgewandelt wird. Diese so genannten Gamma Ray Bursts können mit Teleskopen beobachtet und untersucht werden. Sie stellen die massivste Form von Energiefreisetzung im gesamten Universum dar.

Herleitung

Aus den im Artikel über Vierervektoren abgeleiteten Größen können sowohl die Äquivalenz von Masse und Enerige, als auch die Energie-Impuls Beziehung hergeleitet werden.

Äquivalenz von Masse und Energie

Wir benötigen dazu die Vierergeschwindigkeit

$v^\mu=\gamma(c,\mathbf v)$

$v_\mu=\gamma(c,-\mathbf v)$

den Viererimpuls

$p^\mu=m_0 v^\mu=\gamma m_0 (c,\mathbf v)$

und die Viererkraft

$F^\mu=\frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d \tau} = \gamma \frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d t} = (F^0,\mathbf F)=(F^0,\gamma \mathbf F_N)$ ,

mit dem Zusammenhang zwischen der Eigenzeit $τ$ und der Zeit t

$\mathrm d \tau = \frac{1}{\gamma} \mathrm d t$ .

Als erstes berechnen wir das Skalarprodukt der Vierergeschwindigkeit und der Viererkraft, mit

$v_\mu F^\mu = v_\mu \frac{\mathrm d}{\mathrm d \tau}(m_0 v^\mu) = \frac{1}{2}m_0 \frac{\mathrm d}{\mathrm d \tau}(v_\mu v^\mu)=\frac{1}{2}m_0 \frac{\mathrm d c^2}{\mathrm d \tau} = 0$ ,

da die Ableitung einer Konstanten Null ist. Hierbei wurde benutzt, dass $v μ v μ = c 2$ ist (siehe Vierervektor).

Das Skalarprodukt lässt sich jedoch auch schreiben als

$v_\mu F^\mu = \gamma(c,-\mathbf v)(F^0,\gamma \mathbf \mathbf F_N) = \gamma c F^0 - \gamma^2 \mathbf F_N \mathbf v = 0$ ,

wobei wir aufgrund obiger Rechnung wissen, dass dies gleich Null ist. Das zeitliche Element der Viererkraft ergibt sich durch umstellen der letzten Gleichung zu

$F^0 = \frac{1}{c}\gamma \mathbf F_N \mathbf v$ ,

oder über die Definition der Viererkraft

$F^0 = \frac{\mathrm d p^0}{\mathrm d \tau} = \frac{\mathrm d}{\mathrm d \tau}(\gamma m_0 c) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(\gamma^2 m_0 c)$ .

Da dies beides das zeitliche Element der Viererkraft darstellt, ergibt sich die Gleichung

$\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(\gamma^2 m_0 c) = \frac{1}{c}\gamma \mathbf F_N \mathbf v$

und damit schließlich

$\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(\gamma m_0 c^2) = \mathbf F_N \mathbf v$ .

Die Größe $\mathbf F_N \mathbf v$ ist die zeitliche Ableitung der Energie E, d.h.

$\mathbf F_N \mathbf v = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(\mathbf F_N \mathbf x) = \frac{\mathrm dE}{\mathrm d t}$ ,

also

$\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(\gamma m_0 c^2) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(\mathbf F_N \mathbf x) = \frac{\mathrm dE}{\mathrm d t}$ ,

und damit

E = γ m 0 c 2 = m c 2

in einem mit der Geschwindigkeit v bewegten Inertialsystem. Im Ruhesystem gilt dann

E 0 = m 0 c 2

Energie-Impuls-Beziehung

Wir berechnen das Quadrat des Viererimpulses auf zwei Weisen, mit

$p_\mu p^\mu = m_0^2 v_\mu v^\mu = m_0^2 c^2$ ,

und

$p_\mu p^\mu = \gamma^2 m_0^2 (c^2 - \mathbf v^2)= \gamma^2 m_0^2 c^2 - \gamma^2 m_0^2 \mathbf v^2 = \gamma^2 m_0^2 c^2 - \mathbf p^2$ .

Damit ergibt sich die Gleichung

$m_0^2 c^2 = \gamma^2 m_0^2 c^2 - \mathbf p^2$ .

Multiplikation mit $c 2$ ergibt

$m_0^2 c^4 = \gamma^2 m_0^2 c^4 - \mathbf p^2 c^2$

Da wir bereits wissen, dass der Ausdruck $E 0 = m 0 c 2$ , lässt sich dies schreiben als

$E_0^2= E^2 - (\mathbf p c)^2$

Oder in der bekannten Reihenfolge

$E^2= E_0^2 + (\mathbf p c)^2$ .

Folgerung für Photonen

Die relativistische Gesamtenergie E ist nichts anderes als die Hamiltonfunktion eines freien relativistischen Teilchens, mit

$E = H = \sqrt{E_0^2 + (pc)^2}$ .

Aus den Hamilton'schen Bewegungsgleichungen folgt dann für die generalisierte Geschwindigkeit

$\dot q=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p c^2}{\sqrt{E_0^2 + (pc)^2}}$ .

Für Photonen ist $\dot q = c$ , was nur für E₀=0 erfüllt ist - also wenn die Masse des Teilchens verschwindet. Photonen tragen demnach keine Masse und ihre Energie ergibt sich aus der Energie-Impuls-Beziehung sofort zu

E = p c

Literatur

Albert Einstein: Ist die Trägheit eines Körpers von dessen Energieinhalt abhängig?. In: Annalen der Physik 18/1905. S. 639–643

Beispiel

Wenn ein Atom von einem Neutron zertrümmert wird, ist die Masse der Bruchstücke (des Atoms plus des Neutrons) größer als die Masse des ursprünglichen Atoms plus des Neutrons. Dies ist möglich, da Energie freigesetzt wird. Auf dieser Funktionsweise bauen auch Atombomben und Atomkraftwerke auf.

Weblinks

Eintrag (englisch) in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (inkl. Literaturangaben)

Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort %C3%84quivalenz_von_Masse_und_Energie, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation.

A. Einstein, AdP 18, 639 (1905) – Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?

Von „http://www.kefk.org/wiki/%C3%84quivalenz_von_Masse_und_Energie“

Kategorien: Wikipedia | Spezielle Relativitätstheorie

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